Calcule em cada um dos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é dada por para . Vamos usar cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, que envolve substituir a parametrização na função e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso é importante porque . Vamos derivar cada componente de :
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, substituímos a parametrização na função :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar de e :

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:

Resposta

Somando os dois resultados, temos:
Portanto, .

Exercícios relacionados

Mostre que a curva definida por , se e não é regular.
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule
(a) .
(b) , onde e é uma constante.
Calcule em cada um dos seguintes casos: