Calcule integralgamma F cdot d r em cada um dos seguintes casos:
F(x, y)=x i+3 y^2 j, r(t)=11 t^4 i+t^3 j, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é dada por para . Vamos usar cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, que envolve substituir a parametrização na função e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de r(t) = 11 t^4 i + t^3 j em relação a r'(t) = ddt(11 t^4) i + ddt(t^3) j = 44 t^3 i + 3 t^2 j , ou seja, . Isso é importante porque . Vamos derivar cada componente de :
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, substituímos a parametrização F(r(t)) = F(11 t^4, t^3) = 11 t^4 i + 3 (t^3)^2 j = 11 t^4 i + 3 t^6 j na função :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar de F(r(t)) cdot r'(t) = (11 t^4 i + 3 t^6 j) cdot (44 t^3 i + 3 t^2 j) = 11 t^4 cdot 44 t^3 + 3 t^6 cdot 3 t^2 = 484 t^7 + 9 t^8 e :

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de integral0^1 (484 t^7 + 9 t^8) dt a integral0^1 484 t^7 dt = 484 cdot t^88 |0^1 = 484 cdot 18 = 60.5 :
integral0^1 9 t^8 dt = 9 cdot t^99 |0^1 = 1
Vamos integrar termo a termo:

Resposta

Somando os dois resultados, temos:
60.5 + 1 = 61.5
Portanto, .

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