Calcule
(a) .
(b) , onde e é uma constante.

Passo 1

Beleza, temos dois limites para calcular aqui. No item (a), a gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de 4 para a expressão . Já no item (b), vamos calcular o limite que na verdade é a definição da derivada da função em um ponto . Para resolver esses limites, vamos usar técnicas de álgebra e conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Vamos começar com o item (a):
Primeiro, tentamos substituir diretamente:
Esse resultado é indeterminado, então precisamos manipular a expressão para simplificar. Uma técnica útil aqui é a racionalização do numerador, que envolve multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador.

Passo 3

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de , que é :
Calculando o numerador:
Agora, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Passo 4

Agora, vamos para o item (b):
Essa expressão é exatamente a definição da derivada de em . A derivada de é ela mesma, ou seja:
Portanto, substituindo :

Resposta

(a) O limite é .
(b) O limite é .

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