Calcule
(a)
.
(b)
, onde
e
é uma constante.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, temos dois limites para calcular aqui. No item (a), a gente precisa encontrar o limite quando
se aproxima de 4 para a expressão
. Já no item (b), vamos calcular o limite que na verdade é a definição da derivada da função
em um ponto
. Para resolver esses limites, vamos usar técnicas de álgebra e conceitos de cálculo diferencial.
Passo 2
Vamos começar com o item (a):
Primeiro, tentamos substituir
diretamente:
Esse resultado é indeterminado, então precisamos manipular a expressão para simplificar. Uma técnica útil aqui é a racionalização do numerador, que envolve multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador.
Passo 3
Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de
, que é
:
Calculando o numerador:
Agora, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos para o item (b):
Essa expressão é exatamente a definição da derivada de
em
. A derivada de
é ela mesma, ou seja:
Portanto, substituindo
:
Resposta
(a) O limite é
.
(b) O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
Mostre que a curva
definida por
, se
e
não é regular.
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
Considere
definida por
. Mostre que
tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento
que contém esta raiz.