Calcule
(a) lim x 4 raizx+5-3x-4.
(b) lim h 0 f(a+h)-f(a)h, onde f(x)=e^x e a in R é uma constante.

Passo 1

Beleza, temos dois limites para calcular aqui. No item (a), a gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de 4 para a expressão . Já no item (b), vamos calcular o limite que na verdade é a definição da derivada da função em um ponto . Para resolver esses limites, vamos usar técnicas de álgebra e conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Vamos começar com o item (a):
lim x 4 raizx+5-3x-4
Primeiro, tentamos substituir raiz4+5-34-4 = 3-30 = 00 diretamente:
Esse resultado é indeterminado, então precisamos manipular a expressão para simplificar. Uma técnica útil aqui é a racionalização do numerador, que envolve multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador.

Passo 3

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de raizx+5-3x-4 times raizx+5+3raizx+5+3 = (raizx+5)^2 - 3^2(x-4)(raizx+5+3) , que é (raizx+5)^2 - 9 = x + 5 - 9 = x - 4 :
x-4(x-4)(raizx+5+3) = 1raizx+5+3
Calculando o numerador:
1raiz4+5+3 = 13 + 3 = 16
Agora, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Passo 4

Agora, vamos para o item (b):
lim h 0 f(a+h)-f(a)h, onde f(x)=e^x
Essa expressão é exatamente a definição da derivada de f'(x) = e^x em lim h 0 e^a+h-e^ah = e^a . A derivada de é ela mesma, ou seja:
Portanto, substituindo :

Resposta

(a) O limite é .
(b) O limite é .

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