Calcule integralgamma F cdot d r em cada um dos seguintes casos:
F(x, y, z)=x i+y j+z k, r(t)=cos t i+sen t j+t k, 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva é dada por para . O conteúdo aqui é sobre integrais de linha em campos vetoriais. Para resolver isso, a gente precisa parametrizar a curva, achar a derivada de , substituir na integral e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) = cos t , i + sin t , j + t , k em relação a r'(t) = -sin t , i + cos t , j + 1 , k . Isso significa derivar cada componente de :
Derivando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos substituir F(r(t)) = F(cos t, sin t, t) = cos t , i + sin t , j + t , k no campo vetorial :

Passo 4

A próxima etapa é calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = (cos t)(-sin t) + (sin t)(cos t) + (t)(1) :
F(r(t)) cdot r'(t) = -cos t sin t + sin t cos t + t = t
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, vamos integrar esse resultado de integral0^pi t , dt a t^22 |0^pi = pi^22 - 0 = pi^22 :
A integral de em relação a é:

Resposta

A integral de linha é .

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