Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial da qual ele deriva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teste de conservatividade e a determinação da função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Isso implica que:
Passo 3
Uma condição necessária para que o campo seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular:
Como
, a condição é satisfeita. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos determinar a função potencial
.
Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação:
Derivando
em relação a
:
Integrando:
Onde
é uma constante.
Resposta
Portanto, uma função potencial para o campo
é:
Exercícios relacionados
Usando a regra de L(a)
.
(b) .
(b)
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Mostre que a curva
definida por
, se
e
não é regular.
Calcule
em cada um dos seguintes casos: