Verifique se os campos F abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
F(x, y) = x * i + y * j

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial da qual ele deriva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teste de conservatividade e a determinação da função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Isso implica que:

Passo 3

Uma condição necessária para que o campo seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular:
ã
ã
Como , a condição é satisfeita. Portanto, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos determinar a função potencial .
Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação:
Derivando em relação a :
Integrando:
Onde é uma constante.

Resposta

Portanto, uma função potencial para o campo é:

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