Mostre que a curva definida por , se e não é regular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a curva definida por , com e , não é regular.
Matéria envolvida: Estudo de curvas no espaço, especificamente sobre regularidade de curvas.
O que vamos precisar: Para verificar se a curva é regular, precisamos calcular sua derivada e ver se ela nunca é zero no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser regular. Uma curva é regular se sua derivada nunca for o vetor zero no intervalo considerado. Então, nosso objetivo é calcular e verificar se existe algum no intervalo onde .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Temos:
A derivada de em relação a é:
Calculando cada componente:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, queremos verificar se existe algum no intervalo tal que . Isso significa que tanto a componente quanto a componente devem ser zero simultaneamente.
Analisando a componente :
Isso já é um absurdo! O que isso indica é que a componente nunca é zero, ou seja, nunca é o vetor zero completo. Porém, precisamos avaliar se pode ser zero em algum momento, ou seja, se ambas as componentes e podem ser zero juntos.

Passo 5

Embora a componente seja sempre 1, vamos analisar o que acontece com a componente :
Para existir um que satisfaça essa equação, precisaríamos que:
No entanto, à medida que se aproxima de 0, tende ao infinito, fazendo com que e oscilem indefinidamente entre -1 e 1. A presença do termo faz com que o primeiro termo vá a zero, enquanto o segundo termo continua oscilando. Portanto, não existe um onde essa igualdade seja satisfeita.

Resposta

Assim, como a componente de nunca é zero, concluímos que a curva não é regular.

Exercícios relacionados

Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Usando a regra de L(a) .
(b) .
Calcule em cada um dos seguintes casos:
Calcule
(a) .
(b) , onde e é uma constante.