Mostre que a curva
definida por
, se
e
não é regular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a curva
definida por
, com
e
, não é regular.
Matéria envolvida: Estudo de curvas no espaço, especificamente sobre regularidade de curvas.
O que vamos precisar: Para verificar se a curva é regular, precisamos calcular sua derivada
e ver se ela nunca é zero no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser regular. Uma curva
é regular se sua derivada
nunca for o vetor zero no intervalo considerado. Então, nosso objetivo é calcular
e verificar se existe algum
no intervalo
onde
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Temos:
A derivada de
em relação a
é:
Calculando cada componente:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, queremos verificar se existe algum
no intervalo
tal que
. Isso significa que tanto a componente
quanto a componente
devem ser zero simultaneamente.
Analisando a componente
:
Isso já é um absurdo! O que isso indica é que a componente
nunca é zero, ou seja,
nunca é o vetor zero completo. Porém, precisamos avaliar se
pode ser zero em algum momento, ou seja, se ambas as componentes
e
podem ser zero juntos.
Passo 5
Embora a componente
seja sempre 1, vamos analisar o que acontece com a componente
:
Para existir um
que satisfaça essa equação, precisaríamos que:
No entanto, à medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito, fazendo com que
e
oscilem indefinidamente entre -1 e 1. A presença do termo
faz com que o primeiro termo vá a zero, enquanto o segundo termo
continua oscilando. Portanto, não existe um
onde essa igualdade seja satisfeita.
Resposta
Assim, como a componente
de
nunca é zero, concluímos que a curva
não é regular.
Exercícios relacionados
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Usando a regra de L(a)
.
(b) .
(b)
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
Calcule
(a) .
(b) , onde
e
é uma constante.
(a)
(b)