Calcule para , onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho . Esse caminho é formado por dois segmentos de reta: um que vai de pra e outro que vai de pra . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como parametrizar esses segmentos e depois calcular a integral de linha usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o primeiro segmento de reta, que vai de até . Para fazer isso, vamos usar um parâmetro que varia de 0 a 1.
A posição inicial é e a posição final é . A equação da reta parametrizada fica:
Substituindo os valores:
Derivando em relação a para encontrar :
Passo 3
Agora, vamos calcular para o primeiro segmento. Substituímos os valores de na expressão de :
O produto escalar então é:
Agora, integramos de a :
Passo 4
Vamos agora parametrizar o segundo segmento de reta, de até . Usamos novamente um parâmetro de 0 a 1.
Posição inicial e final . A parametrização fica:
Derivando em relação a :
Passo 5
Vamos calcular para o segundo segmento. Substituímos na :