Calcule para
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho . Esse caminho é formado por dois segmentos de reta: um que vai de pra e outro que vai de pra . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como parametrizar esses segmentos e depois calcular a integral de linha usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o primeiro segmento de reta, que vai de até . Para fazer isso, vamos usar um parâmetro que varia de 0 a 1.
A posição inicial é e a posição final é . A equação da reta parametrizada fica:
Substituindo os valores:
Derivando em relação a para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular para o primeiro segmento. Substituímos os valores de na expressão de :
O produto escalar então é:
Agora, integramos de a :

Passo 4

Vamos agora parametrizar o segundo segmento de reta, de até . Usamos novamente um parâmetro de 0 a 1.
Posição inicial e final . A parametrização fica:
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos calcular para o segundo segmento. Substituímos na :
O produto escalar é:
Agora, integramos de a :

Resposta

A integral de linha vale 14.

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Demonstre que a integral de linha do campo ao longo de pode ser transformada em uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde . Ou seja, prove que
Calcule para
, onde .
Calcule:
, sendo a intersecção das superfícies , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido com altura de 10 m e raio da base de 4 m . Ele está cheio de água até uma altura de 8 m . Encontre o trabalho necessário para esvaziar o reservatório bombeando toda a água pela parte superior do tanque. (A densidade da água é .)