Calcule integralgamma F cdot d r para
F(x, y, z)=z^2 i+x^2 k, onde gamma é a reunião dos segmentos de reta que unem (1,0,1) a (3,0,1) e (3,0,1) a (2,0,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho . Esse caminho é formado por dois segmentos de reta: um que vai de pra e outro que vai de pra . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como parametrizar esses segmentos e depois calcular a integral de linha usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o primeiro segmento de reta, que vai de r(t) = r0 + t (r1 - r0) até r(t) = (1,0,1) + t (3-1, 0-0, 1-1) = (1 + 2t, 0, 1) . Para fazer isso, vamos usar um parâmetro dr = (2, 0, 0) , dt que varia de 0 a 1.
A posição inicial é e a posição final é . A equação da reta parametrizada fica:
Substituindo os valores:
Derivando em relação a para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular F(x, y, z) = z^2 i + x^2 k = (1)^2 i + (1 + 2t)^2 k = (1, 0, (1 + 2t)^2) para o primeiro segmento. Substituímos os valores de F cdot dr = (1)(2) + (0)(0) + ((1 + 2t)^2)(0) = 2 na expressão de integral0^1 2 , dt = 2t g|0^1 = 2(1) - 2(0) = 2 :
O produto escalar então é:
Agora, integramos de a :

Passo 4

Vamos agora parametrizar o segundo segmento de reta, de r(t) = (3,0,1) + t (2-3, 0-0, 4-1) = (3 - t, 0, 1 + 3t) até dr = (-1, 0, 3) , dt . Usamos novamente um parâmetro de 0 a 1.
Posição inicial e final . A parametrização fica:
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos calcular F(x, y, z) = z^2 i + x^2 k = (1 + 3t)^2 i + (3 - t)^2 k = ((1 + 3t)^2, 0, (3 - t)^2) para o segundo segmento. Substituímos F cdot dr = ((1 + 3t)^2)(-1) + (0)(0) + ((3 - t)^2)(3) = - (1 + 6t + 9t^2) + 3(9 - 6t + t^2) = -1 -6t -9t^2 +27 -18t +3t^2 = 26 -24t -6t^2 na integral0^1 (26 -24t -6t^2) , dt = 26t -12t^2 -2t^3 g|0^1 = 26(1) -12(1) -2(1) - [0] = 26 -12 -2 = 12 :
O produto escalar é:
Agora, integramos de a :

Resposta

A integral de linha vale 14.

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