Calcule integralgamma F cdot d r, sendo
gamma(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= 2 pi
e
F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha . O enunciado nos dá a curva para e o campo vetorial . Vamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Ela já está dada como , onde varia de a . Essa é a parametrização da circunferência unitária.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de dgammadt = ( ddt cos t, ddt sen t ) = (-sen t, cos t) em relação a , que é . Derivando cada componente:

Passo 4

Agora, substituímos F(gamma(t)) = ( -sen tcos^2 t + sen^2 t, cos tcos^2 t + sen^2 t ) no campo vetorial F(gamma(t)) = (-sen t, cos t) :
Como , simplificamos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar (-sen t, cos t) cdot (-sen t, cos t) = (-sen t)(-sen t) + (cos t)(cos t) = sen^2 t + cos^2 t = 1 :

Passo 6

Finalmente, integramos esse resultado de integral0^2pi 1 , dt = [t]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi até :

Resposta

A integral é igual a .

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