Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação para integrar:
Essa equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, conseguimos integrar e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é exata se satisfizer a condição:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Vamos comparar as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Um fator integrante comum é uma função que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de
. Suponha que o fator seja
.
Multiplicamos a equação original por
:
Para que a nova equação seja exata, deve valer:
Passo 6
Calculando as derivadas após multiplicar por
:
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Observamos que a equação resultante deve ser válida para todos os
e
. Isso implica que os coeficientes dos termos em
devem se igualar separadamente dos termos em
. Assim, temos:
Para o termo em
:
O que implica
, mas isso não é útil. Então, nosso palpite de que o fator depende apenas de
não funciona. Vamos tentar outro caminho.
Passo 8
Agora, vamos tentar um fator integrante que depende de
, ou seja,
.
Multiplicamos a equação original por
:
Novamente, para a equação ser exata:
Passo 9
Calculando as derivadas após multiplicar por
:
Igualando as duas expressões:
Essa equação parece complicada, então talvez precisemos tentar outro método.
Passo 10
Como nenhum fator simples está funcionando, vamos tentar verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau.
Analisando os termos:
-
: grau 2 -
: grau 2 -
: grau 2 -
: grau 2
Sim, todos os termos têm grau 2, então a equação é homogênea. Nesse caso, podemos fazer a substituição
, onde
.
Passo 11
Fazendo a substituição
, temos que:
Vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 12
Vamos fatorar
nos termos:
Agrupando os termos em
e
:
Passo 13
Dividimos toda a equação por
(já que
):
Rearranjando:
Divide ambos os lados por
:
Passo 14
Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Vamos completar o quadrado no denominador:
Então,
Passo 15
Integrando o lado direito:
Agora, igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 16
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
De quantas formas é possível ir
e
passando por
.
Calcule
, sendo
e
Integrar as seguintes equações diferenciais:
Integrar as seguintes equações diferenciais: