Integrar as seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação para integrar:
Essa equação faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, conseguimos integrar e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é exata se satisfizer a condição:
Isso significa que a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Vamos comparar as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 5

Um fator integrante comum é uma função que depende apenas de ou apenas de . Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de . Suponha que o fator seja .
Multiplicamos a equação original por :
Para que a nova equação seja exata, deve valer:

Passo 6

Calculando as derivadas após multiplicar por :
Igualando as duas expressões:

Passo 7

Observamos que a equação resultante deve ser válida para todos os e . Isso implica que os coeficientes dos termos em devem se igualar separadamente dos termos em . Assim, temos:
Para o termo em :
O que implica , mas isso não é útil. Então, nosso palpite de que o fator depende apenas de não funciona. Vamos tentar outro caminho.

Passo 8

Agora, vamos tentar um fator integrante que depende de , ou seja, .
Multiplicamos a equação original por :
Novamente, para a equação ser exata:

Passo 9

Calculando as derivadas após multiplicar por :
Igualando as duas expressões:
Essa equação parece complicada, então talvez precisemos tentar outro método.

Passo 10

Como nenhum fator simples está funcionando, vamos tentar verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau.
Analisando os termos:
  • : grau 2
  • : grau 2
  • : grau 2
  • : grau 2
Sim, todos os termos têm grau 2, então a equação é homogênea. Nesse caso, podemos fazer a substituição , onde .

Passo 11

Fazendo a substituição , temos que:
Vamos substituir e na equação original:
Simplificando:

Passo 12

Vamos fatorar nos termos:
Agrupando os termos em e :

Passo 13

Dividimos toda a equação por (já que ):
Rearranjando:
Divide ambos os lados por :

Passo 14

Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo:
Vamos completar o quadrado no denominador:
Então,

Passo 15

Integrando o lado direito:
Agora, igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 16

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando numerador e denominador por :
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

De quantas formas é possível ir e passando por .
Calcule , sendo
e
Integrar as seguintes equações diferenciais:
Integrar as seguintes equações diferenciais: