Encontre as integrais indefinidas: integral(theta-cos sec theta cotg theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para encontrar a integral indefinida de theta - cos(sec theta) cot theta em relação a theta. Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integração de funções básicas e propriedades das funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar conhecer como integrar termos simples e entender umas relaçõezinhas trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral (theta - cos sec theta cot theta) , dtheta = integral theta , dtheta - integral cos sec theta cot theta , dtheta

Passo 3

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
integral theta , dtheta
A integral de theta em relação a theta é basicamente uma potência. Lembrando que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aqui, n = 1, então:
integral theta , dtheta = theta^22 + C1

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
integral cos sec theta cot theta , dtheta
Antes de integrar, vamos simplificar a expressão. Sabemos que sec theta é 1/cos theta, então:
cos sec theta = cos (1cos theta)
Isso parece complicado, mas vamos observar que cot theta é cos thetasin theta. No entanto, parece que houve uma confusão na expressão original. Talvez seja melhor reconsiderar como a expressão está escrita.
Observação: Se a expressão correta for cos(theta) cdot sec(theta) cdot cot(theta), então podemos simplificar:
cos(theta) cdot sec(theta) = 1, já que sec(theta) = 1cos(theta). Então:
cos(theta) cdot sec(theta) cdot cot(theta) = 1 cdot cot(theta) = cot(theta)
Portanto, a integral se torna:
integral cot theta , dtheta

Passo 5

Vamos integrar cot theta:
integral cot theta , dtheta
Sabemos que:
integral cot theta , dtheta = ln|sin theta| + C2

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:
integral (theta - cos sec theta cot theta) , dtheta = theta^22 - ln|sin theta| + C
Onde C = C1 + C2 é a constante de integração geral.

Resposta

A integral indefinida é:
theta^22 - ln|sin theta| + C

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