Encontre as integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para encontrar a integral indefinida de em relação a . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integração de funções básicas e propriedades das funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar conhecer como integrar termos simples e entender umas relaçõezinhas trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:

Passo 3

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
A integral de em relação a é basicamente uma potência. Lembrando que:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
Antes de integrar, vamos simplificar a expressão. Sabemos que é , então:
Isso parece complicado, mas vamos observar que é . No entanto, parece que houve uma confusão na expressão original. Talvez seja melhor reconsiderar como a expressão está escrita.
Observação: Se a expressão correta for , então podemos simplificar:
, já que . Então:
Portanto, a integral se torna:

Passo 5

Vamos integrar :
Sabemos que:

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:
Onde é a constante de integração geral.

Resposta

A integral indefinida é:

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Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Considere a função . Encontre o máximo e mínimo de sobre a região dado por .
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule , sendo
e