Encontre as integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para encontrar a integral indefinida de
em relação a
. Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente integração de funções básicas e propriedades das funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar conhecer como integrar termos simples e entender umas relaçõezinhas trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
A integral de
em relação a
é basicamente uma potência. Lembrando que:
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
Antes de integrar, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
é
, então:
Isso parece complicado, mas vamos observar que
é
. No entanto, parece que houve uma confusão na expressão original. Talvez seja melhor reconsiderar como a expressão está escrita.
Observação: Se a expressão correta for
, então podemos simplificar:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Vamos integrar
:
Sabemos que:
Passo 6
Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:
Onde
é a constante de integração geral.
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Considere a função
. Encontre o máximo e mínimo de
sobre a região dado por
.
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule
, sendo
e