Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de funções trigonométricas e aplicar o teorema que relaciona derivadas com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . Nosso objetivo é encontrar uma antiderivada dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja justamente .

Passo 3

Sabemos que a derivada de é . Isso significa que a antiderivada de é . Então, podemos escrever:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se é uma antiderivada de , então:
No nosso caso, .

Passo 5

Vamos então calcular nos limites de integração, que são e :

Passo 6

Calculando cada termo:

Resposta

Portanto, a integral vale .

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Encontre as integrais indefinidas:
Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule , sendo
e
De quantas formas é possível ir e passando por .