Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral0^pi / 4 sec theta tg theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral0^pi / 4 sec theta tan theta , dtheta usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de funções trigonométricas e aplicar o teorema que relaciona derivadas com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: sec theta tan theta. Nosso objetivo é encontrar uma antiderivada dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja justamente sec theta tan theta.

Passo 3

Sabemos que a derivada de sec theta é sec theta tan theta. Isso significa que a antiderivada de sec theta tan theta é sec theta. Então, podemos escrever:
integral sec theta tan theta , dtheta = sec theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se F(theta) é uma antiderivada de f(theta), então:
integrala^b f(theta) , dtheta = F(b) - F(a)
No nosso caso, F(theta) = sec theta.

Passo 5

Vamos então calcular sec theta nos limites de integração, que são 0 e pi/4:
sec(pi4) - sec(0)

Passo 6

Calculando cada termo:
  • sec(pi4) = 1cos(pi4) = 1raiz22 = raiz2
  • sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1

Resposta

Portanto, a integral vale raiz2 - 1.

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