Calcule integralgamma F cdot d gamma, sendo dados
© F(x, y)=x^2 j e gamma(t)=(t^2, 3),-1 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha integralgamma F cdot d gamma. A gente tem o campo vetorial F(x, y) = x^2 j e a curva gamma(t) = (t^2, 3) para -1 <= t <= 1. Aqui a gente vai usar o conceito de integração de campos vetoriais ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t) = (t^2, 3). Isso significa que x(t) = t^2 e y(t) = 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de gamma(t) em relação a t, que é dgamma/dt. Calculando:
dgammadt = ( dxdt, dydt ) = (2t, 0)

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar o campo vetorial F ao longo da curva gamma(t). Substituindo x(t) = t^2 e y(t) = 3 na expressão de F:
F(gamma(t)) = (t^2)^2 j = t^4 j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre F(gamma(t)) e dgamma/dt:
F(gamma(t)) cdot dgammadt = t^4 j cdot (2t, 0) = t^4 times 0 = 0
Aqui, percebemos que só tem componente na direção j no campo F, mas a derivada da curva tem componente na direção i e zero na j, então o produto escalar dá zero.

Passo 6

Por fim, integramos o resultado de 0 de t = -1 até t = 1:
integral-1^1 0 , dt = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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