Calcule integralgamma F cdot d gamma, sendo dados
(a) F(x, y, z)=x i+y j+z k e gamma(t)=(cos t, sen t, t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Este exercício pede para calcular a integral de linha da função vetorial F(x, y, z) = x i + y j + z k ao longo da curva , onde gamma(t) = (cos t, sen t, t) varia de t a 0. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha, parametrização de curvas e produto escalar para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a integral de linha de F ao longo de gamma é dada por:
integralgamma F cdot dgamma = integral0^2pi F(gamma(t)) cdot gamma'(t) , dt
onde gamma'(t) é a derivada de gamma(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos calcular F(gamma(t)) substituindo as componentes de gamma(t) na expressão de F:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de gamma(t) em relação a t:

Passo 5

Fazemos o produto escalar de F(gamma(t)) com gamma'(t):
Os primeiros dois termos se cancelam, restando apenas F(gamma(t)) cdot gamma'(t) = (cos t)(-sen t) + (sen t)(cos t) + t(1) = -cos t sen t + sen t cos t + t = t .

Passo 6

Finalmente, integramos a expressão resultante de 0 a 2pi:
integral0^2pi t , dt = [ t^22 ]0^2pi = (2pi)^22 = 2pi^2

Resposta

2pi^2

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