Calcule , sendo dados
(e) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é parametrizada por para . Para isso, vamos usar a definição de integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha pode ser calculada substituindo a parametrização da curva na função e depois fazendo o produto escalar com a derivada da parametrização. Ou seja, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização . Derivando cada componente de em relação a :

Passo 5

Em seguida, fazemos o produto escalar :

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de até :
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. : podemos usar substituição , .
  2. : similarmente, substituição , .
  3. : é uma integral direta.
Após calcular cada uma dessas integrais, somamos os resultados.

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral de linha resulta em .

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Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por . Calcule o trabalho realizado por no deslocamento da partícula de até , sendo dados
(a) , sen e .
Calcule , sendo dados
© e .
Sejam um campo vetorial contínuo no aberto e duas curvas de classe . Mostre que se é obtida de por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se , com de classe , e , para todo ), então .
Seja um campo vetorial contínuo em . Justifique as igualdades.
(d) , onde , e .