Calcule
, sendo dados
(e)
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é parametrizada por para
. Para isso, vamos usar a definição de integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha
pode ser calculada substituindo a parametrização da curva na função
e depois fazendo o produto escalar com a derivada da parametrização. Ou seja, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo na função
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização
. Derivando cada componente de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, fazemos o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
até
:
Vamos resolver cada termo separadamente:
- : podemos usar substituição
, . - : similarmente, substituição ,
. -
: é uma integral direta.
Após calcular cada uma dessas integrais, somamos os resultados.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral de linha
resulta em
.
Exercícios relacionados
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados
(a) , sen
e
.
(a)
Calcule
, sendo dados
© e
.
©
Sejam
um campo vetorial contínuo no aberto
e
duas curvas de classe
. Mostre que se
é obtida de
por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se
, com
de classe
,
e
, para todo
), então
.
Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
(d) , onde
, e
.
(d)