Calcule integralgamma F cdot d gamma, sendo dados
(e) F(x, y, z)=x^2 i+y^2 j+z^2 k e gamma(t)=(2 cos t, 3 sen t, t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma F cdot d gamma, onde o campo vetorial é F(x, y, z)=x^2 i+y^2 j+z^2 k e a curva gamma(t) é parametrizada por para (2 cos t, 3 sen t, t). Para isso, vamos usar a definição de integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha integralgamma F cdot d gamma pode ser calculada substituindo a parametrização da curva na função F e depois fazendo o produto escalar com a derivada da parametrização. Ou seja, precisamos encontrar F(gamma(t)) e gamma'(t).

Passo 3

Vamos calcular F(gamma(t)). Substituindo na função gamma(t) = (2 cos t, 3 sen t, t):

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização gamma'(t). Derivando cada componente de gamma(t) em relação a t:

Passo 5

Em seguida, fazemos o produto escalar F(gamma(t)) cdot gamma'(t):

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t = 0 até t = 2pi:
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. : podemos usar substituição integral0^2pi ( -8 cos^2 t sen t + 27 cos t sen^2 t + t^2 ) dt , .
  2. : similarmente, substituição , integral0^2pi -8 cos^2 t sen t , dt.
  3. u = cos t: é uma integral direta.
Após calcular cada uma dessas integrais, somamos os resultados.

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral de linha integralgamma F cdot d gamma resulta em 2pi^3.

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