Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge. A regra é a seguinte:
  1. Calcular o limite: | an+1an | = | (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1(2n+1)! |
  2. Se = | (-1)^n+1(-1)^n cdot x^2n+3x^2n+1 cdot (2n+1)!(2n+3)! | , a série converge.
  3. Se = | -1 cdot x^2 cdot 1(2n+2)(2n+3) | , a série diverge.
  4. Se = | x^2(2n+2)(2n+3) | , o teste não é conclusivo.
Aqui, .
Vamos calcular :
Simplificando os termos:
Como estamos usando o valor absoluto, o desaparece:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x^2(2n+2)(2n+3) | tende ao infinito:
L = 0
Observando o denominador, quando cresce, cresce muito rápido, tornando a fração cada vez menor. Portanto:

Passo 4

Com o limite , que é menor que 1, pelo Teste da Razão, isso nos diz que a série converge para todo valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito ( ) e o intervalo de convergência é todos os números reais ( ).

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