Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge. A regra é a seguinte:
Calcular o limite:
Se = | (-1)^n+1(-1)^n cdot x^2n+3x^2n+1 cdot (2n+1)!(2n+3)! | , a série converge.
Se = | -1 cdot x^2 cdot 1(2n+2)(2n+3) | , a série diverge.
Se = | x^2(2n+2)(2n+3) | , o teste não é conclusivo.
Aqui, .
Vamos calcular :
Simplificando os termos:
Como estamos usando o valor absoluto, o desaparece:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x^2(2n+2)(2n+3) | tende ao infinito:
L = 0
Observando o denominador, quando cresce, cresce muito rápido, tornando a fração cada vez menor. Portanto:
Passo 4
Com o limite , que é menor que 1, pelo Teste da Razão, isso nos diz que a série converge para todo valor de .
Resposta
O raio de convergência é infinito () e o intervalo de convergência é todos os números reais ().