Seja um campo vetorial contínuo em . Justifique as igualdades.
(d) , onde , e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial contínuo em e precisamos justificar que a integral de linha de ao longo do caminho é igual ao negativo da integral ao longo do caminho . O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e a propriedade que inverte o sentido da trajetória. Para resolver, vamos analisar as trajetórias e e utilizar a propriedade das integrais de linha em trajetórias inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as trajetórias para e para .

Passo 3

Vamos verificar os pontos inicial e final de cada trajetória:
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando , .

Passo 4

Observamos que vai de a , enquanto vai de a . Ou seja, percorre o mesmo caminho que , mas na direção oposta.

Passo 5

Sabemos que, para integrais de linha, se uma trajetória vai de a e é a mesma trajetória mas de a , então:

Passo 6

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, como é invertida, temos:

Resposta

Assim, justificamos que .

Exercícios relacionados

Sejam um campo vetorial contínuo no aberto e duas curvas de classe . Mostre que se é obtida de por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se , com de classe , e , para todo ), então .
Calcule , sendo dados
(e) e .
Decida sobre a convergência das séries, justificando: .
Decida sobre a convergência das séries, justificando: .