Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
(d)
, onde
, e
.
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial contínuo
em
e precisamos justificar que a integral de linha de
ao longo do caminho
é igual ao negativo da integral ao longo do caminho
. O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e a propriedade que inverte o sentido da trajetória. Para resolver, vamos analisar as trajetórias
e
e utilizar a propriedade das integrais de linha em trajetórias inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as trajetórias
para
e
para
.
Passo 3
Vamos verificar os pontos inicial e final de cada trajetória:
-
Para
: - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
-
Para
: - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
Passo 4
Observamos que
vai de
a
, enquanto
vai de
a
. Ou seja,
percorre o mesmo caminho que
, mas na direção oposta.
Passo 5
Sabemos que, para integrais de linha, se uma trajetória
vai de
a
e
é a mesma trajetória mas de
a
, então:
Passo 6
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, como
é
invertida, temos:
Resposta
Assim, justificamos que
.
Exercícios relacionados
Sejam
um campo vetorial contínuo no aberto
e
duas curvas de classe
. Mostre que se
é obtida de
por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se
, com
de classe
,
e
, para todo
), então
.
Calcule
, sendo dados
(e) e
.
(e)
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.