Seja F um campo vetorial contínuo em R^2. Justifique as igualdades.
(d) integralgamma1 F cdot d gamma1=-integralgamma2 F cdot d gamma2, onde gamma1(t)=(t, t^3),-1 <= t <= 1, e gamma2(u)=(1-u,(1-u)^3), 0 <= u <= 2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial contínuo em e precisamos justificar que a integral de linha de ao longo do caminho é igual ao negativo da integral ao longo do caminho . O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha e a propriedade que inverte o sentido da trajetória. Para resolver, vamos analisar as trajetórias e e utilizar a propriedade das integrais de linha em trajetórias inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as trajetórias para e para .

Passo 3

Vamos verificar os pontos inicial e final de cada trajetória:
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando , .

Passo 4

Observamos que vai de a , enquanto vai de a . Ou seja, percorre o mesmo caminho que , mas na direção oposta.

Passo 5

Sabemos que, para integrais de linha, se uma trajetória integralgamma F cdot dgamma = -integralgamma' F cdot dgamma vai de a e é a mesma trajetória mas de a , então:

Passo 6

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, como integralgamma1 F cdot dgamma1 = -integralgamma2 F cdot dgamma2 é invertida, temos:

Resposta

Assim, justificamos que .

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