Sejam
um campo vetorial contínuo no aberto
e
duas curvas de classe
. Mostre que se
é obtida de
por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se
, com
de classe
,
e
, para todo
), então
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se temos duas curvas que são basicamente a mesma trajeto, mas parametrizadas de maneiras diferentes (mantendo a direção), então a integral da força ao longo dessas curvas é a mesma. Estamos lidando com campos vetoriais e integrais de linha, então vamos precisar entender como a mudança de parâmetro afeta a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Para um campo vetorial
e uma curva
, a integral de linha é dada por:
Aqui,
é a derivada da curva, representando a velocidade ao longo da curva.
Passo 3
Agora, como
é uma reparametrização de
, temos que
, onde
é uma função diferenciável com
. Vamos substituir
na integral de linha:
Passo 4
Substituindo
, temos:
Isso vem da regra da cadeia na derivação.
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Passo 6
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja
. Como
é diferenciável e
, a mudança de variável é válida e
.
Além disso, quando
,
, e quando
,
.
Passo 7
Com a mudança de variável, a integral fica:
Que é exatamente a integral de linha ao longo de
:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, as integrais de linha são iguais quando uma curva é uma reparametrização da outra que preserva a orientação.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo dados
(e) e
.
(e)
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados
(a) , sen
e
.
(a)
Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
(d) , onde
, e
.
(d)
Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.