Sejam F um campo vetorial contínuo no aberto Omega subset R^n, gamma1:[a, b] Omega e gamma2:[c, d] Omega duas curvas de classe C^1. Mostre que se gamma2 é obtida de gamma1 por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se gamma2(u)=gamma1(g(u)), com g de classe C^1, Im g=[a, b] e g^prime(u)>0, para todo u in(c, d) ), então integralgamma1 F cdot d gamma1=integralgamma2 F cdot d gamma2.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se temos duas curvas que são basicamente a mesma trajeto, mas parametrizadas de maneiras diferentes (mantendo a direção), então a integral da força ao longo dessas curvas é a mesma. Estamos lidando com campos vetoriais e integrais de linha, então vamos precisar entender como a mudança de parâmetro afeta a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Para um campo vetorial integralgamma F cdot dgamma = integrala^b F(gamma(t)) cdot gamma'(t) , dt e uma curva , a integral de linha é dada por:
Aqui, é a derivada da curva, representando a velocidade ao longo da curva.

Passo 3

Agora, como integralgamma2 F cdot dgamma2 = integralc^d F(gamma2(u)) cdot gamma2'(u) , du é uma reparametrização de , temos que , onde é uma função diferenciável com . Vamos substituir na integral de linha:

Passo 4

Substituindo gamma2'(u) = ddu gamma1(g(u)) = gamma1'(g(u)) cdot g'(u) , temos:
Isso vem da regra da cadeia na derivação.

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
integralc^d F(gamma1(g(u))) cdot gamma1'(g(u)) cdot g'(u) , du

Passo 6

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja . Como é diferenciável e , a mudança de variável é válida e .
Além disso, quando , , e quando , .

Passo 7

Com a mudança de variável, a integral fica:
integrala^b F(gamma1(t)) cdot gamma1'(t) , dt
Que é exatamente a integral de linha ao longo de integralgamma1 F cdot dgamma1 :

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, as integrais de linha são iguais quando uma curva é uma reparametrização da outra que preserva a orientação.

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