Sejam um campo vetorial contínuo no aberto e duas curvas de classe . Mostre que se é obtida de por uma mudança de parâmetro que preserva a orientação (isto é, se , com de classe , e , para todo ), então .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se temos duas curvas que são basicamente a mesma trajeto, mas parametrizadas de maneiras diferentes (mantendo a direção), então a integral da força ao longo dessas curvas é a mesma. Estamos lidando com campos vetoriais e integrais de linha, então vamos precisar entender como a mudança de parâmetro afeta a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Para um campo vetorial e uma curva , a integral de linha é dada por:
Aqui, é a derivada da curva, representando a velocidade ao longo da curva.

Passo 3

Agora, como é uma reparametrização de , temos que , onde é uma função diferenciável com . Vamos substituir na integral de linha:

Passo 4

Substituindo , temos:
Isso vem da regra da cadeia na derivação.

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:

Passo 6

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Seja . Como é diferenciável e , a mudança de variável é válida e .
Além disso, quando , , e quando , .

Passo 7

Com a mudança de variável, a integral fica:
Que é exatamente a integral de linha ao longo de :

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, as integrais de linha são iguais quando uma curva é uma reparametrização da outra que preserva a orientação.

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Calcule , sendo dados
(e) e .
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por . Calcule o trabalho realizado por no deslocamento da partícula de até , sendo dados
(a) , sen e .
Seja um campo vetorial contínuo em . Justifique as igualdades.
(d) , onde , e .
Decida sobre a convergência das séries, justificando: .