Calcule integralgamma F cdot d r em cada um dos seguintes casos:
F(x, y, z)=y sen z i+z sen x j+x sen u k, r(t)=t i+t j+5 t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado nos pede para calcular , onde o campo vetorial é e a curva é dada por para . Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e um pouco de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, temos que parametrizar a curva r'(t) = drdt = i + j + 5,k com relação a . Já está dado que . Para calcular a integral, precisamos da derivada de em relação a , que é:

Passo 3

Agora, vamos substituir as componentes de F(r(t)) = t sen(5t) , i + 5t sen(t) , j + t sen(u) , k na função F(r(t)) = t sen(5t) , i + 5t sen(t) , j + t sen(5t) , k . Substituindo , e em , temos:
Aqui, parece que há um erro no enunciado original com o . Presumindo que seja , então:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = (t sen(5t)) cdot 1 + (5t sen(t)) cdot 1 + (t sen(5t)) cdot 5 = 6t sen(5t) + 5t sen(t) :

Passo 5

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral comum de integral0^pi (6t sen(5t) + 5t sen(t)) , dt de 6 integral0^pi t sen(5t) , dt + 5 integral0^pi t sen(t) , dt a :
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 6

Vamos resolver cada integral por partes. Começando com , usamos integração por partes onde:
  • integral t sen(kt) , dt = -t cos(kt)k + sen(kt)k^2 + C
Aplicando isso:

Passo 7

Aplicando a fórmula acima:
Para 6 ( -t cos(5t)5 + sen(5t)25 ) :
Para 5 ( -t cos(t) + sen(t) ) :

Passo 8

Agora, somamos tudo e avaliamos de 6 ( -pi cos(5pi)5 + sen(5pi)25 ) + 5 ( -pi cos(pi) + sen(pi) ) a 6 ( pi5 ) + 5 ( pi ) = 6pi5 + 5pi = 31pi5 :
Sabemos que , e , então:

Resposta

integralgamma F cdot d r = 31pi5

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