Calcule
em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado nos pede para calcular
, onde o campo vetorial é e a curva
é dada por
para
. Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e um pouco de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, temos que parametrizar a curva
com relação a
. Já está dado que
. Para calcular a integral, precisamos da derivada de
em relação a
, que é:
Passo 3
Agora, vamos substituir as componentes de
na função
. Substituindo
,
e
em
, temos:
Aqui, parece que há um erro no enunciado original com o . Presumindo que seja , então:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral comum de
de
a
:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver cada integral por partes. Começando com , usamos integração por partes onde:
Aplicando isso:
Passo 7
Aplicando a fórmula acima:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, somamos tudo e avaliamos de
a
:
Sabemos que ,
e , então:
Resposta
Exercícios relacionados
Determinar uma equação para o plano osculador da hélice
nos pontos
e
.
Determine o domínio das funções:
(e)
(e)
Determine o domínio das funções:
(f)
(f)
Calcule
em cada um dos casos abaixo: