Calcule em cada um dos seguintes casos:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! O enunciado nos pede para calcular , onde o campo vetorial é e a curva é dada por para . Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e um pouco de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, temos que parametrizar a curva com relação a . Já está dado que . Para calcular a integral, precisamos da derivada de em relação a , que é:

Passo 3

Agora, vamos substituir as componentes de na função . Substituindo , e em , temos:
Aqui, parece que há um erro no enunciado original com o . Presumindo que seja , então:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral comum de de a :
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 6

Vamos resolver cada integral por partes. Começando com , usamos integração por partes onde:
Aplicando isso:

Passo 7

Aplicando a fórmula acima:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, somamos tudo e avaliamos de a :
Sabemos que , e , então:

Resposta

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Determinar uma equação para o plano osculador da hélice
nos pontos e .
Determine o domínio das funções:
(e)
Determine o domínio das funções:
(f)
Calcule em cada um dos casos abaixo: