Calcule em cada um dos casos abaixo:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral de linha, que basicamente calcula a soma de uma função ao longo de um caminho específico no espaço. A função que vamos integrar é , e o caminho é dado por:
onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar o caminho . Já temos as equações paramétricas em termos de :
Essas funções nos dizem a posição de um ponto ao longo do caminho conforme varia de a .

Passo 3

A próxima coisa a fazer é calcular o diferencial de arco . Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas:
Então,
Simplificando isso:
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral de linha:
Substituindo e as parametrizações de e :
E já sabemos que , então:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Uma maneira fácil é usar uma substituição:
Seja , então .
Então,
Aplicando os limites de a :

Resposta

Então, a integral de linha é:
Resposta final: A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Determine o domínio das funções:
(f)
Calcule em cada um dos seguintes casos:
.
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
©
Determine e .
(b)