Calcule integralgamma f(x, y, z) d s em cada um dos casos abaixo:
f(x, y, z)=x z, gamma: x=2 sen t, y=t, z=-2 cos t, 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral de linha, que basicamente calcula a soma de uma função ao longo de um caminho específico no espaço. A função que vamos integrar é x = 2 sen t y = t z = -2 cos t , e o caminho é dado por:
onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar o caminho x(t) = 2 sen t, y(t) = t, z(t) = -2 cos t . Já temos as equações paramétricas em termos de :
Essas funções nos dizem a posição de um ponto ao longo do caminho conforme varia de a .

Passo 3

A próxima coisa a fazer é calcular o diferencial de arco ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 + ( dzdt )^2 , dt . Para isso, usamos a fórmula:
dxdt = 2 cos t, dydt = 1, dzdt = 2 sen t
Vamos calcular as derivadas:
Então,
Simplificando isso:
Então,
ds = raiz(2 cos t)^2 + (1)^2 + (2 sen t)^2 , dt = raiz4 cos^2 t + 1 + 4 sen^2 t

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral de linha:
integralgamma f(x, y, z) , ds = integral0^pi f(x(t), y(t), z(t)) cdot ds
Substituindo f(x(t), y(t), z(t)) = x(t) cdot z(t) = (2 sen t) cdot (-2 cos t) = -4 sen t cos t e as parametrizações de integral0^pi -4 sen t cos t cdot raiz5 , dt = -4 raiz5 integral0^pi sen t cos t , dt e :
E já sabemos que , então:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Uma maneira fácil é usar uma substituição:
Seja , então integral sen t cos t , dt = integral u , du = u^22 + C = sen^2 t2 + C .
Então,
Aplicando os limites de [ sen^2 t2 ]0^pi = sen^2 pi2 - sen^2 02 = 02 - 02 = 0 a :

Resposta

Então, a integral de linha é:
integralgamma f(x, y, z) , ds = -4 raiz5 times 0 = 0
Resposta final: A integral de linha é igual a .

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