Calcule
em cada um dos casos abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral de linha, que basicamente calcula a soma de uma função ao longo de um caminho específico no espaço. A função que vamos integrar é
, e o caminho
é dado por:
onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar usar parametrização de curvas e a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como parametrizar o caminho
. Já temos as equações paramétricas em termos de
:
Essas funções nos dizem a posição de um ponto
ao longo do caminho conforme
varia de
a
.
Passo 3
A próxima coisa a fazer é calcular o diferencial de arco
. Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas:
Então,
Simplificando isso:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral de linha:
Substituindo
e as parametrizações de
e
:
E já sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos resolver a integral . Uma maneira fácil é usar uma substituição:
Seja , então
.
Então,
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
Então, a integral de linha é:
Resposta final: A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das funções:
(f)
(f)
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
.
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
©
©
Determine
e
.
(b)
(b)