Considere definida por . Mostre que tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento que contém esta raiz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função tem pelo menos uma raiz real. Além disso, precisamos encontrar um intervalo com comprimento de onde essa raiz está. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de uma raiz em um determinado intervalo quando a função muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função em alguns pontos para ver onde pode ocorrer a mudança de sinal. Vamos começar com e .
Calculando :
Calculando :
Aqui, vimos que e . A função mudou de negativo para positivo entre e .

Passo 3

Agora, segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo, ou seja, tem pelo menos uma raiz ali. Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo .

Passo 4

Para encontrar um intervalo com comprimento de que contenha essa raiz, precisamos afunilar onde a mudança de sinal ocorre dentro de . Vamos testar o ponto médio desse intervalo, que é .
Calculando :
Agora, temos:
A mudança de sinal ocorre entre e .

Resposta

A função tem pelo menos uma raiz real no intervalo , que tem comprimento .

Exercícios relacionados

Calcule em cada um dos seguintes casos:
Calcule
(a) .
(b) , onde e é uma constante.
Calcule em cada um dos casos abaixo:
é a semicircunferência
Uma massa de cai a partir do repouso em um meio que oferece uma resistência de , onde v esta em .
(a) Se a massa cai de uma altura de 30 in. Encontre sua velocidade ao atingir o solo.