Considere
definida por
. Mostre que
tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento
que contém esta raiz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz real. Além disso, precisamos encontrar um intervalo com comprimento de
onde essa raiz está. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de uma raiz em um determinado intervalo quando a função muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função em alguns pontos para ver onde pode ocorrer a mudança de sinal. Vamos começar com
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Aqui, vimos que
e
. A função mudou de negativo para positivo entre
e
.
Passo 3
Agora, segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo, ou seja, tem pelo menos uma raiz ali. Como
é negativo e
é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo
.
Passo 4
Para encontrar um intervalo com comprimento de
que contenha essa raiz, precisamos afunilar onde a mudança de sinal ocorre dentro de
. Vamos testar o ponto médio desse intervalo, que é
.
Calculando
:
Agora, temos:
A mudança de sinal ocorre entre
e
.
Resposta
A função
tem pelo menos uma raiz real no intervalo
, que tem comprimento
.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
Calcule
(a) .
(b) , onde
e
é uma constante.
(a)
(b)
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
é a semicircunferência
Uma massa de
cai a partir do repouso em um meio que oferece uma resistência de
, onde v esta em
.
(a) Se a massa cai de uma altura de 30 in. Encontre sua velocidade ao atingir o solo.
(a) Se a massa cai de uma altura de 30 in. Encontre sua velocidade ao atingir o solo.