Calcule
em cada um dos casos abaixo:
é a semicircunferência
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
, onde a função
é dada por
. A curva
é uma semicircunferência definida pela equação
, que representa a semicircunferência esquerda de raio 4. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integral de linha para funções escalares ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como estamos lidando com uma semicircunferência, é conveniente usar coordenadas polares. Sabemos que uma circunferência de raio
pode ser parametrizada por:
No nosso caso, o raio
é 4, então:
Como
é a semicircunferência esquerda,
deve ser negativa, o que ocorre quando
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a diferencial de arco
em termos de
. A diferencial de arco em coordenadas paramétricas é dada por:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos resolver a integral
usando uma substituição. Seja
, então
. A integral se torna:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Multiplicando pelo fator que tínhamos antes: