Calcule em cada um dos casos abaixo: é a semicircunferência
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde a função é dada por . A curva é uma semicircunferência definida pela equação , que representa a semicircunferência esquerda de raio 4. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integral de linha para funções escalares ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como estamos lidando com uma semicircunferência, é conveniente usar coordenadas polares. Sabemos que uma circunferência de raio pode ser parametrizada por:
No nosso caso, o raio é 4, então:
Como é a semicircunferência esquerda, deve ser negativa, o que ocorre quando varia de a .
Passo 3
Agora, precisamos expressar a diferencial de arco em termos de . A diferencial de arco em coordenadas paramétricas é dada por:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de :
Passo 4
Agora, substituímos , e na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos resolver a integral usando uma substituição. Seja , então . A integral se torna: