Calcule integralgamma f(x, y) d s em cada um dos casos abaixo:
f(x, y)=x y^4, gamma é a semicircunferência x=-raiz16-y^2

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde a função é dada por . A curva é uma semicircunferência definida pela equação , que representa a semicircunferência esquerda de raio 4. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integral de linha para funções escalares ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva x = R cos(theta) . Como estamos lidando com uma semicircunferência, é conveniente usar coordenadas polares. Sabemos que uma circunferência de raio y = R sin(theta) pode ser parametrizada por:
x = 4 cos(theta)
y = 4 sin(theta)
No nosso caso, o raio é 4, então:
Como é a semicircunferência esquerda, deve ser negativa, o que ocorre quando varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos expressar a diferencial de arco ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta em termos de dxdtheta = -4 sin(theta) . A diferencial de arco em coordenadas paramétricas é dada por:
dydtheta = 4 cos(theta)
Calculando as derivadas:
ds = raiz(-4 sin(theta))^2 + (4 cos(theta))^2 , dtheta = raiz16 sin^2(theta) + 16 cos^2(theta) , dtheta = raiz16 (sin^2(theta) + cos^2(theta)) , dtheta = raiz16 , dtheta = 4 , dtheta
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, substituímos integralgamma f(x, y) , ds = integralpi2^3pi2 (4 cos(theta)) (4 sin(theta))^4 cdot 4 , dtheta , = 4 cdot 4 cdot 4 integralpi2^3pi2 cos(theta) sin^4(theta) , dtheta = 64 integralpi2^3pi2 cos(theta) sin^4(theta) , dtheta e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^4 , du = u^55 + C = sin^5(theta)5 + C usando uma substituição. Seja sin^5(theta)5 |pi2^3pi2 = sin^5(3pi2) - sin^5(pi2)5 = (-1)^5 - (1)^55 = -1 -15 = -25 , então . A integral se torna:
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Multiplicando pelo fator que tínhamos antes:
64 cdot ( -25 ) = -1285

Resposta

integralgamma f(x, y) , ds = -1285

Exercícios relacionados