Calcule em cada um dos casos abaixo:
é a semicircunferência

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde a função é dada por . A curva é uma semicircunferência definida pela equação , que representa a semicircunferência esquerda de raio 4. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integral de linha para funções escalares ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como estamos lidando com uma semicircunferência, é conveniente usar coordenadas polares. Sabemos que uma circunferência de raio pode ser parametrizada por:
No nosso caso, o raio é 4, então:
Como é a semicircunferência esquerda, deve ser negativa, o que ocorre quando varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos expressar a diferencial de arco em termos de . A diferencial de arco em coordenadas paramétricas é dada por:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, substituímos , e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos resolver a integral usando uma substituição. Seja , então . A integral se torna:
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Multiplicando pelo fator que tínhamos antes:

Resposta

Exercícios relacionados

Considere definida por . Mostre que tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento que contém esta raiz.
Calcule em cada um dos seguintes casos:
Uma massa de cai a partir do repouso em um meio que oferece uma resistência de , onde v esta em .
(a) Se a massa cai de uma altura de 30 in. Encontre sua velocidade ao atingir o solo.
Calcule
(a) .
(b) .