Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido com altura de 10 m e raio da base de 4 m . Ele está cheio de água até uma altura de 8 m . Encontre o trabalho necessário para esvaziar o reservatório bombeando toda a água pela parte superior do tanque. (A densidade da água é .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre trabalho realizado para esvaziar um tanque em formato de cone invertido. A matéria envolvida aqui é o cálculo de trabalho em física, aplicando conceitos de integral para determinar a energia necessária para bombear a água. Vamos precisar das medidas do tanque, que são altura de 10 m, raio da base de 4 m, e a altura da água inicialmente é de 8 m. Também vamos usar a densidade da água, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho para bombear a água é igual à integral do peso da água multiplicado pela altura que ela precisa ser elevada. Para isso, precisamos expressar o raio de cada fatia de água em função da sua altura.
O tanque é um cone com altura total de 10 m e raio de base de 4 m. Usando semelhança de triângculos, o raio em uma altura do fundo é dado por:

Passo 3

Agora, consideramos uma pequena fatia de água de espessura a uma altura . O volume dessa fatia é:
O peso dessa fatia é o volume multiplicado pela densidade da água:

Passo 4

A altura que essa fatia precisa ser levantada para sair do topo do tanque é a diferença entre a altura total do tanque (10 m) e a posição :
Então, o trabalho para levantar essa fatia é:

Passo 5

Para encontrar o trabalho total, integramos de até , já que a água está até 8 metros de altura:

Passo 6

Vamos desenvolver a integral:
Calculando nos limites:

Resposta

O trabalho necessário para esvaziar o tanque é aproximadamente joules.

Exercícios relacionados

Calcule:
, sendo a intersecção das superfícies , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Calcule para
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e a .
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. e)
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. a)