Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido com altura de 10 m e raio da base de 4 m . Ele está cheio de água até uma altura de 8 m . Encontre o trabalho necessário para esvaziar o reservatório bombeando toda a água pela parte superior do tanque. (A densidade da água é
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre trabalho realizado para esvaziar um tanque em formato de cone invertido. A matéria envolvida aqui é o cálculo de trabalho em física, aplicando conceitos de integral para determinar a energia necessária para bombear a água. Vamos precisar das medidas do tanque, que são altura de 10 m, raio da base de 4 m, e a altura da água inicialmente é de 8 m. Também vamos usar a densidade da água, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o trabalho
para bombear a água é igual à integral do peso da água multiplicado pela altura que ela precisa ser elevada. Para isso, precisamos expressar o raio de cada fatia de água em função da sua altura.
O tanque é um cone com altura total de 10 m e raio de base de 4 m. Usando semelhança de triângculos, o raio
em uma altura
do fundo é dado por:
Passo 3
Agora, consideramos uma pequena fatia de água de espessura
a uma altura
. O volume dessa fatia é:
O peso dessa fatia é o volume multiplicado pela densidade da água:
Passo 4
A altura que essa fatia precisa ser levantada para sair do topo do tanque é a diferença entre a altura total do tanque (10 m) e a posição
:
Então, o trabalho para levantar essa fatia é:
Passo 5
Para encontrar o trabalho total, integramos
de
até
, já que a água está até 8 metros de altura:
Passo 6
Vamos desenvolver a integral:
Calculando nos limites:
Resposta
O trabalho necessário para esvaziar o tanque é aproximadamente
joules.
Exercícios relacionados
Calcule:
, sendo
a intersecção das superfícies
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Calcule
para
, onde
é a reunião dos segmentos de reta que unem
a
e
a
.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. e)
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. a)