Calcule:
integralgamma x d x+y d y+z d z, sendo gamma a intersecção das superfícies z=x^2+y^2 e z=2 x+2 y-1, orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de uma curva específica. O enunciado nos dá duas superfícies: uma parábola z = x^2 + y^2 e um plano z = 2x + 2y - 1. A curva gamma que vamos usar para a integral é a interseção dessas duas superfícies. Além disso, a orientação da curva deve ser tal que, quando a projetamos no plano xy, ela seja percorrida uma vez no sentido anti-horário. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção gamma das duas superfícies. Para isso, igualamos as duas expressões para z:
x^2 + y^2 = 2x + 2y - 1
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da curva:
x^2 - 2x + y^2 - 2y + 1 = 0

Passo 3

Agora, completamos os quadrados para x e y:
Para x:
x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1
Para y:
y^2 - 2y = (y^2 - 2y + 1) - 1 = (y - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + 1 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0 Rightarrow (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1

Passo 4

Essa é a equação de um círculo com centro em (1, 1) e raio 1 no plano xy. Então, a curva gamma projetada no plano xy é um círculo de raio 1 centrado em (1,1), percorrida no sentido anti-horário.
Agora, vamos parametrizar essa curva. Vamos usar um parâmetro theta, que varia de 0 a 2pi para completar a volta.
As equações paramétricas serão:
x(theta) = 1 + cos(theta)
y(theta) = 1 + sin(theta)

Passo 5

Com as parametrizações de x e y, podemos encontrar z usando uma das equações das superfícies. Vamos usar z = 2x + 2y - 1:
z(theta) = 2(1 + cos(theta)) + 2(1 + sin(theta)) - 1 = 2 + 2cos(theta) + 2 + 2sin(theta) - 1 = 3 + 2cos(theta) + 2sin(theta)
Então, a parametrização completa da curva gamma é:
x(theta) = 1 + cos(theta) y(theta) = 1 + sin(theta) z(theta) = 3 + 2cos(theta) + 2sin(theta) com theta in [0, 2pi]

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as derivadas das funções de x, y e z em relação a theta para calcular a diferencial dr:
dxdtheta = -sin(theta)
dydtheta = cos(theta)
dzdtheta = -2sin(theta) + 2cos(theta)
Então, a diferencial vetorial dr é:
dr = ( dxdtheta, dydtheta, dzdtheta ) dtheta = ( -sin(theta), cos(theta), -2sin(theta) + 2cos(theta) ) dtheta

Passo 7

Agora, vamos substituir x(theta), y(theta) e z(theta) na expressão da integral:
integralgamma x , dx + y , dy + z , dz = integral0^2pi [ x(theta) dxdtheta + y(theta) dydtheta + z(theta) dzdtheta ] dtheta
Substituindo:
= integral0^2pi [ (1 + cos(theta)) (-sin(theta)) + (1 + sin(theta)) (cos(theta)) + (3 + 2cos(theta) + 2sin(theta)) (-2sin(theta) + 2cos(theta)) ] dtheta

Passo 8

Vamos simplificar cada termo da integral:
  1. Primeiro termo:
(1 + cos(theta)) (-sin(theta)) = -sin(theta) - cos(theta)sin(theta)
  1. Segundo termo:
(1 + sin(theta)) (cos(theta)) = cos(theta) + sin(theta)cos(theta)
  1. Terceiro termo:
(3 + 2cos(theta) + 2sin(theta)) (-2sin(theta) + 2cos(theta)) = 3(-2sin(theta) + 2cos(theta)) + 2cos(theta)(-2sin(theta) + 2cos(theta)) + 2sin(theta)(-2sin(theta) + 2cos(theta)) = -6sin(theta) + 6cos(theta) -4sin(theta)cos(theta) + 4cos^2(theta) -4sin^2(theta) + 4sin(theta)cos(theta) = -6sin(theta) + 6cos(theta) + 4cos^2(theta) -4sin^2(theta)
Agora, somando todos os termos:
- sin(theta) - cos(theta)sin(theta) + cos(theta) + sin(theta)cos(theta) -6sin(theta) + 6cos(theta) + 4cos^2(theta) -4sin^2(theta)
Simplificando:
(-sin(theta) -6sin(theta)) + (cos(theta) + 6cos(theta)) + ( - cos(theta)sin(theta) + sin(theta)cos(theta)) + 4cos^2(theta) -4sin^2(theta) = -7sin(theta) + 7cos(theta) + 0 + 4cos^2(theta) -4sin^2(theta)

Passo 9

Agora, nossa integral fica:
integral0^2pi ( -7sin(theta) + 7cos(theta) + 4cos^2(theta) - 4sin^2(theta) ) dtheta
Vamos separar em quatro integrais:
-7 integral0^2pi sin(theta) dtheta + 7 integral0^2pi cos(theta) dtheta + 4 integral0^2pi cos^2(theta) dtheta - 4 integral0^2pi sin^2(theta) dtheta

Passo 10

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi sin(theta) dtheta = 0 (porque a integral de seno completo de 0 a 2pi é zero)
  2. integral0^2pi cos(theta) dtheta = 0 (mesma razão do seno)
  3. integral0^2pi cos^2(theta) dtheta = pi (sabemos que a média de cos^2 é 1/2, então 2pi cdot 1/2 = pi)
  4. integral0^2pi sin^2(theta) dtheta = pi (mesma lógica do cosseno)

Passo 11

Substituindo os valores das integrais:
-7 cdot 0 + 7 cdot 0 + 4 cdot pi - 4 cdot pi = 0 + 0 + 4pi -4pi = 0

Resposta

A integral integralgamma x , dx + y , dy + z , dz é igual a 0.

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