Calcule: , sendo a intersecção das superfícies , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de uma curva específica. O enunciado nos dá duas superfícies: uma parábola e um plano . A curva que vamos usar para a integral é a interseção dessas duas superfícies. Além disso, a orientação da curva deve ser tal que, quando a projetamos no plano , ela seja percorrida uma vez no sentido anti-horário. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção das duas superfícies. Para isso, igualamos as duas expressões para :
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da curva:
Passo 3
Agora, completamos os quadrados para e :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 4
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio no plano . Então, a curva projetada no plano é um círculo de raio centrado em , percorrida no sentido anti-horário.
Agora, vamos parametrizar essa curva. Vamos usar um parâmetro , que varia de a para completar a volta.
As equações paramétricas serão:
Passo 5
Com as parametrizações de e , podemos encontrar usando uma das equações das superfícies. Vamos usar :
Então, a parametrização completa da curva é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as derivadas das funções de , e em relação a para calcular a diferencial :
Então, a diferencial vetorial é:
Passo 7
Agora, vamos substituir , e na expressão da integral: