Calcule:
, sendo a intersecção das superfícies , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores ao longo de uma curva específica. O enunciado nos dá duas superfícies: uma parábola e um plano . A curva que vamos usar para a integral é a interseção dessas duas superfícies. Além disso, a orientação da curva deve ser tal que, quando a projetamos no plano , ela seja percorrida uma vez no sentido anti-horário. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção das duas superfícies. Para isso, igualamos as duas expressões para :
Vamos reorganizar essa equação para facilitar a identificação da curva:

Passo 3

Agora, completamos os quadrados para e :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 4

Essa é a equação de um círculo com centro em e raio no plano . Então, a curva projetada no plano é um círculo de raio centrado em , percorrida no sentido anti-horário.
Agora, vamos parametrizar essa curva. Vamos usar um parâmetro , que varia de a para completar a volta.
As equações paramétricas serão:

Passo 5

Com as parametrizações de e , podemos encontrar usando uma das equações das superfícies. Vamos usar :
Então, a parametrização completa da curva é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as derivadas das funções de , e em relação a para calcular a diferencial :
Então, a diferencial vetorial é:

Passo 7

Agora, vamos substituir , e na expressão da integral:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar cada termo da integral:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 9

Agora, nossa integral fica:
Vamos separar em quatro integrais:

Passo 10

Calculando cada integral separadamente:
  1. (porque a integral de seno completo de a é zero)
  2. (mesma razão do seno)
  3. (sabemos que a média de é , então )
  4. (mesma lógica do cosseno)

Passo 11

Substituindo os valores das integrais:

Resposta

A integral é igual a .

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