Calcule
onde
quando:
(a)
é o segmento de reta que liga
a
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
. A trajetória
é uma reta que liga o ponto
ao ponto
.
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a trajetória para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de
a
. Uma forma simples de fazer isso é definir uma função
que descreve essa reta, onde
varia de 0 a 1.
Então, podemos escrever:
Isso significa que quando
, estamos no ponto
, e quando
, chegamos em
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada nos dá a direção e o tamanho dos deslocamentos ao longo da trajetória.
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função
:
Então, o produto escalar
fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva
em
dada pela interseção das seguintes superfícies:
© e
.
©
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
© O gráfico de da origem ao ponto
.
© O gráfico de
Utilize o teorema de Green para calcular:
©
©
onde
é parametrizada por
e
.
Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(a)
(a)