Calcule integralgamma F cdot d r onde F(x, y)=(x^2 y, x y^2) quando:
(a) gamma1 é o segmento de reta que liga (0,0) a (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A trajetória é uma reta que liga o ponto ao ponto .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a trajetória para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de r(t) = (t, t), para t in [0, 1] a . Uma forma simples de fazer isso é definir uma função que descreve essa reta, onde varia de 0 a 1.
Então, podemos escrever:
Isso significa que quando , estamos no ponto , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de drdt = (1, 1) implies dr = (dt, dt) em relação a , que é :
Essa derivada nos dá a direção e o tamanho dos deslocamentos ao longo da trajetória.

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função F(r(t)) = F(t, t) = (t^2 cdot t, t cdot t^2) = (t^3, t^3) :
F cdot dr = t^3 cdot dt + t^3 cdot dt = 2t^3 dt
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integralgamma F cdot d r = integral0^1 2t^3 dt
Integrando:
2 integral0^1 t^3 dt = 2 [ t^44 ]0^1 = 2 ( 14 - 0 ) = 12

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados