Calcule onde quando:
(a) é o segmento de reta que liga a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A trajetória é uma reta que liga o ponto ao ponto .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a trajetória para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de a . Uma forma simples de fazer isso é definir uma função que descreve essa reta, onde varia de 0 a 1.
Então, podemos escrever:
Isso significa que quando , estamos no ponto , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , que é :
Essa derivada nos dá a direção e o tamanho dos deslocamentos ao longo da trajetória.

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função :
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Integrando:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva em dada pela interseção das seguintes superfícies:
© e .
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
© O gráfico de da origem ao ponto .
Utilize o teorema de Green para calcular:
©
onde é parametrizada por e .
Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(a)