Utilize o teorema de Green para calcular:
©
I=integralC 2 arctan (yx) d x+(ln (x^2+y^2)+x) d y
onde C é parametrizada por x=4+2 cos t e y=4+sin t, com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos calcular é:
I = integralC 2 arctan (yx) dx + (ln (x^2+y^2) + x) dy
Aqui, a curva é parametrizada por e , onde . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por .

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P(x, y) = 2 arctan(yx) e Q(x, y) = ln(x^2 + y^2) + x na integral de linha:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x = 2xx^2 + y^2 + 1 e partial Ppartial y = 2 cdot xx^2 + y^2 = 2xx^2 + y^2 :
Para :
Para :

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região I = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy delimitada por partial Qpartial x - partial Ppartial y = ( 2xx^2 + y^2 + 1 ) - 2xx^2 + y^2 = 1 :
I = integral duplaD 1 , dx , dy
Substituindo as derivadas que calculamos:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

A integral A = pi a b representa a área da região A = pi cdot 2 cdot 1 = 2pi . Como é uma elipse parametrizada por e , os semi-eixos da elipse são e .
A área de uma elipse é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados