Utilize o teorema de Green para calcular:
©
onde
é parametrizada por
e
.
©
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos calcular é:
Aqui, a curva
é parametrizada por
e
, onde
. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por
.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
na integral de linha:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
A integral
representa a área da região
. Como
é uma elipse parametrizada por
e
, os semi-eixos da elipse são
e
.
A área
de uma elipse é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.