Utilize o teorema de Green para calcular:
©
onde é parametrizada por e .

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que envolve calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos calcular é:
Aqui, a curva é parametrizada por e , onde . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por .

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e :
Para :
Para :

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Substituindo as derivadas que calculamos:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

A integral representa a área da região . Como é uma elipse parametrizada por e , os semi-eixos da elipse são e .
A área de uma elipse é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule onde quando:
(a) é o segmento de reta que liga a .
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva em dada pela interseção das seguintes superfícies:
© e .
Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(a)
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(b) A parte da parábola de a .