Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função potencial para o campo vetorial conservativo dado. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial associada a ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se ele puder ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja:
Isso significa que:
Além disso, para que o campo seja conservativo, é necessário que as derivadas parciais satisfaçam a condição:
Passo 3
Vamos verificar se o campo dado é conservativo. Temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo é realmente conservativo, então podemos encontrar uma função potencial
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração é em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos determinar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Integrando
em relação a
, temos:
Podemos ignorar a constante, pois ela não afeta o gradiente.
Resposta
A função potencial para o campo vetorial dado é:
Exercícios relacionados
Utilize o teorema de Green para calcular:
©
©
onde
é parametrizada por
e
.
Calcule
onde
quando:
(a) é o segmento de reta que liga
a
.
(a)
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(b) A parte da parábola de
a
.
(b) A parte da parábola
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva
em
dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) e
.
(d)