Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função potencial para o campo vetorial conservativo dado. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar a função potencial associada a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se ele puder ser escrito como o gradiente de uma função escalar , ou seja:
Isso significa que:
Além disso, para que o campo seja conservativo, é necessário que as derivadas parciais satisfaçam a condição:

Passo 3

Vamos verificar se o campo dado é conservativo. Temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é realmente conservativo, então podemos encontrar uma função potencial .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração é em relação a .

Passo 5

Agora, vamos determinar . Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Integrando em relação a , temos:
Podemos ignorar a constante, pois ela não afeta o gradiente.

Resposta

A função potencial para o campo vetorial dado é:

Exercícios relacionados

Utilize o teorema de Green para calcular:
©
onde é parametrizada por e .
Calcule onde quando:
(a) é o segmento de reta que liga a .
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(b) A parte da parábola de a .
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva em dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) e .