Calcule onde quando:
© é o segmento que liga a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha onde o campo vetorial é e o caminho é a reta que conecta os pontos a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho . Como é uma reta reta de a , podemos usar um parâmetro que vai de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Isso significa que quando , estamos em , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é :
Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho em cada ponto.

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função vetor :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Finalmente, integramos esse produto escalar de a :
Vamos resolver a integral:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva em dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) e .
Seja . Calcule a integral de linha do campo , (a) ao longo do eixo de a ; (b) ao longo de , com ; © ao longo da poligonal de vértices , e .
Utilize o teorema de Green para calcular:
(a)
onde é o caminho fechado formado por e no sentido anti-horário.