Calcule integralgamma F cdot d r onde F(x, y)=(x^2 y, x y^2) quando:
© gamma3 é o segmento que liga (1,1) a (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma F cdot d r onde o campo vetorial é F(x, y) = (x^2 y, x y^2) e o caminho gamma3 é a reta que conecta os pontos (1,1) a (0,0). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho gamma3. Como é uma reta reta de (1,1) a (0,0), podemos usar um parâmetro t que vai de 0 a 1. A parametrização fica assim:
r(t) = (1 - t, 1 - t), t in [0, 1]
Isso significa que quando t=0, estamos em (1,1), e quando t=1, chegamos em (0,0).

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de r(t) em relação a t, que é dr/dt:
drdt = (-1, -1)
Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho em cada ponto.

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização r(t) na função vetor F(x, y):
F(r(t)) = ( (1 - t)^2 (1 - t), (1 - t) (1 - t)^2 ) = ( (1 - t)^3, (1 - t)^3 )
Simplificando, temos:
F(r(t)) = ( (1 - t)^3, (1 - t)^3 )

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot drdt:
F(r(t)) cdot drdt = (1 - t)^3 (-1) + (1 - t)^3 (-1) = -2(1 - t)^3

Passo 6

Finalmente, integramos esse produto escalar de t=0 a t=1:
integral0^1 -2(1 - t)^3 dt
Vamos resolver a integral:
-2 integral0^1 (1 - t)^3 dt = -2 [ -(1 - t)^44 ]0^1 = -2 ( 0 - ( -14 ) ) = -2 ( 14 ) = -12

Resposta

O valor da integral é -dfrac12.

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