Calcule
onde
quando:
©
é o segmento que liga
a
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
onde o campo vetorial é
e o caminho
é a reta que conecta os pontos
a
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho
. Como é uma reta reta de
a
, podemos usar um parâmetro
que vai de 0 a 1. A parametrização fica assim:
Isso significa que quando
, estamos em
, e quando
, chegamos em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho em cada ponto.
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização
na função vetor
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, integramos esse produto escalar de
a
:
Vamos resolver a integral:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.
(b)
Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva
em
dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) e
.
(d)
Seja
. Calcule a integral de linha do campo
, (a) ao longo do eixo
de
a
; (b) ao longo de
, com
; © ao longo da poligonal de vértices
,
e
.
Utilize o teorema de Green para calcular:
(a)
(a)
onde
é o caminho fechado formado por
e
no sentido anti-horário.