Seja . Calcule a integral de linha do campo , (a) ao longo do eixo de a ; (b) ao longo de , com ; © ao longo da poligonal de vértices , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de linha do campo vetorial em três trajetórias diferentes. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha, que envolve parametrizar o caminho e calcular a integral ao longo dele.

Passo 2

Parte (a): Integral ao longo do eixo de a .
Primeiro, vamos parametrizar o caminho. Como estamos no eixo , para todo ponto. Podemos definir a parametrização como , onde varia de a .
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
A integral de linha é dada por:
Substituindo :
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 3

Parte (b): Integral ao longo de , com .
Aqui, o caminho é parametrizado pelo círculo. Vamos calcular :
A integral de linha é:
Substituindo :
Calculando o produto escalar:
Integrando:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Primeiro, :
Segundo, :
Então, juntando tudo:
Calculando nos limites:

Passo 4

Parte ©: Integral ao longo da poligonal de vértices , , e .
Vamos dividir o caminho em três segmentos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Segmento 1: a
Parametrização:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 2: a
Aqui, constante. Parametrização:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 3: a
Aqui, constante. Parametrização:
(\vec{F}(\vec{r}(t)) = (1, 1^{2}) = (1, 1)
]
Produto escalar:
Integral:
Somando os três segmentos:

Resposta

(a) A integral de linha é igual a .
(b) A integral de linha é igual a .
© A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule onde quando:
© é o segmento que liga a .
Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.
Utilize o teorema de Green para calcular:
(a)
onde é o caminho fechado formado por e no sentido anti-horário.
Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(b)