Seja
. Calcule a integral de linha do campo
, (a) ao longo do eixo
de
a
; (b) ao longo de
, com
; © ao longo da poligonal de vértices
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
em três trajetórias diferentes. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha, que envolve parametrizar o caminho e calcular a integral ao longo dele.
Passo 2
Parte (a): Integral ao longo do eixo
de
a
.
Primeiro, vamos parametrizar o caminho. Como estamos no eixo
,
para todo ponto. Podemos definir a parametrização como
, onde
varia de
a
.
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
A integral de linha é dada por:
Substituindo
:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 3
Parte (b): Integral ao longo de
, com
.
Aqui, o caminho
é parametrizado pelo círculo. Vamos calcular
:
A integral de linha é:
Substituindo
:
Calculando o produto escalar:
Integrando:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Primeiro,
:
Segundo,
:
Então, juntando tudo:
Calculando nos limites:
Passo 4
Parte ©: Integral ao longo da poligonal de vértices
,
,
e
.
Vamos dividir o caminho em três segmentos:
- De
a - De
a - De
a
Segmento 1:
a
Parametrização:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 2:
a
Aqui,
constante. Parametrização:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 3:
a
Aqui,
constante. Parametrização:
(\vec{F}(\vec{r}(t)) = (1, 1^{2}) = (1, 1)
]
]
Produto escalar:
Integral:
Somando os três segmentos:
Resposta
(a) A integral de linha é igual a
.
(b) A integral de linha é igual a
.
© A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
quando:
© é o segmento que liga
a
.
©
Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.
(b)
Utilize o teorema de Green para calcular:
(a)
(a)
onde
é o caminho fechado formado por
e
no sentido anti-horário.
Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(b)
(b)