Seja F(x, y) = (x, x^2). Calcule a integral de linha do campo F, (a) ao longo do eixo x de (-1, 0) a 1,0; (b) ao longo de C: r(t) = (-cos(t), sen(t)), com 0 <= t <= pi; © ao longo da poligonal de vértices (-1, 0), (0, 1), 1,1 e 1,0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral de linha do campo vetorial em três trajetórias diferentes. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha, que envolve parametrizar o caminho e calcular a integral ao longo dele.

Passo 2

Parte (a): Integral ao longo do eixo de a .
Primeiro, vamos parametrizar o caminho. Como estamos no eixo , para todo ponto. Podemos definir a parametrização como , onde varia de a .
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
A integral de linha é dada por:
Substituindo :
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 3

Parte (b): Integral ao longo de , com .
Aqui, o caminho é parametrizado pelo círculo. Vamos calcular :
A integral de linha é:
Substituindo :
Calculando o produto escalar:
Integrando:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Primeiro, :
Segundo, :
Então, juntando tudo:
Calculando nos limites:

Passo 4

Parte ©: Integral ao longo da poligonal de vértices , , e .
Vamos dividir o caminho em três segmentos:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Segmento 1: a
Parametrização:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 2: a
Aqui, constante. Parametrização:
Produto escalar:
Integral:
Segmento 3: a
Aqui, constante. Parametrização:
(\vec{F}(\vec{r}(t)) = (1, 1^{2}) = (1, 1)
]
Produto escalar:
Integral:
Somando os três segmentos:

Resposta

(a) A integral de linha é igual a .
(b) A integral de linha é igual a .
© A integral de linha é igual a .

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