Utilize o teorema de Green para calcular:
(a)
I=integralC-x y1+x^2 d x+arctg(x) d y
onde C é o caminho fechado formado por y=0, x=1, y=1 e x=0 no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
I = integralC -x y1+x^2 dx + arctan(x) dy
Onde é um caminho fechado que forma um retângulo com os lados , , e , percorridos no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula é:
No nosso caso, temos:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular Q = arctan(x) partial Qpartial x = 11+x^2 :
P = -x y1+x^2 partial Ppartial y = -x1+x^2
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
I = integral duplaD ( 11+x^2 - ( -x1+x^2 ) ) dA I = integral duplaD ( 11+x^2 + x1+x^2 ) dA I = integral duplaD 1 + x1 + x^2 dA

Passo 5

Agora, precisamos definir a região I = integral0^1 integral0^1 1 + x1 + x^2 dy dx sobre a qual vamos integrar. O caminho forma um retângulo com e . Então, a integral dupla fica:
Perceba que a integração em é simples, já que a função não depende de .

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a I = integral0^1 ( integral0^1 1 + x1 + x^2 dy ) dx I = integral0^1 1 + x1 + x^2 ( y g|0^1 ) dx I = integral0^1 1 + x1 + x^2 (1 - 0) dx I = integral0^1 1 + x1 + x^2 dx :

Passo 7

Agora, vamos resolver essa integral em integral 1 + x1 + x^2 dx = integral 11 + x^2 dx + integral x1 + x^2 dx :
integral 11 + x^2 dx = arctan(x) + C integral x1 + x^2 dx = 12 ln(1 + x^2) + C
Sabemos que:
I = [ arctan(x) + 12 ln(1 + x^2) ]0^1 I = ( arctan(1) + 12 ln(2) ) - ( arctan(0) + 12 ln(1) ) I = ( pi4 + 12 ln(2) ) - (0 + 0) I = pi4 + 12 ln(2)
Então:

Resposta

A integral vale .

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