Utilize o teorema de Green para calcular:
(a)
onde é o caminho fechado formado por e no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
Onde é um caminho fechado que forma um retângulo com os lados , , e , percorridos no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula é:
No nosso caso, temos:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 5

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. O caminho forma um retângulo com e . Então, a integral dupla fica:
Perceba que a integração em é simples, já que a função não depende de .

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a :

Passo 7

Agora, vamos resolver essa integral em :
Sabemos que:
Então:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Seja . Calcule a integral de linha do campo , (a) ao longo do eixo de a ; (b) ao longo de , com ; © ao longo da poligonal de vértices , e .
Calcule onde quando:
© é o segmento que liga a .
Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
(b)
Mostre que
é independente do caminho. Em seguida, calcule esta integral para com , no sentido horário.