onde é o caminho fechado formado por e no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é:
Onde é um caminho fechado que forma um retângulo com os lados , , e , percorridos no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula é:
No nosso caso, temos:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais e .
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. O caminho forma um retângulo com e . Então, a integral dupla fica:
Perceba que a integração em é simples, já que a função não depende de .
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a :
Passo 7
Agora, vamos resolver essa integral em integral 1 + x1 + x^2 dx = integral 11 + x^2 dx + integral x1 + x^2 dx :
integral 11 + x^2 dx = arctan(x) + C integral x1 + x^2 dx = 12 ln(1 + x^2) + C