Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva
em
dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização diferenciável para a curva
em
, que é a interseção da esfera
com o plano
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a curva formada pela interseção de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a interseção de uma esfera e um plano, se existir, é um círculo. Então, nossa missão é parametrizar esse círculo. Para isso, precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras e encontrar uma forma de representar todos os pontos que satisfazem ambas as equações.
Passo 3
Vamos começar resolvendo o sistema de equações das duas superfícies. Sabemos que
, então podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos essa expressão na equação da esfera:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a parametrização. Podemos completar o quadrado para a variável
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Essa equação representa um círculo em um plano inclinado. Para parametrizar, podemos usar um parâmetro angular
que varia de
a
. Vamos definir:
Assim, temos:
Resposta
Uma parametrização diferenciável para a curva
é: