Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3 dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x + y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma parametrização diferenciável para a curva em , que é a interseção da esfera com o plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a curva formada pela interseção de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de uma esfera e um plano, se existir, é um círculo. Então, nossa missão é parametrizar esse círculo. Para isso, precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras e encontrar uma forma de representar todos os pontos que satisfazem ambas as equações.

Passo 3

Vamos começar resolvendo o sistema de equações das duas superfícies. Sabemos que , então podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos essa expressão na equação da esfera:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a parametrização. Podemos completar o quadrado para a variável :
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Essa equação representa um círculo em um plano inclinado. Para parametrizar, podemos usar um parâmetro angular que varia de a . Vamos definir:
Assim, temos:

Resposta

Uma parametrização diferenciável para a curva é:

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