Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) integralC x y^4 d S, onde C é círculo unitário centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a integral de linha , sendo o círculo unitário centrado na origem. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e utilizar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo unitário. Um jeito fácil de fazer isso é usar coordenadas polares. Podemos definir:
x = cos(theta)
y = sin(theta)
onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco dS = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 dtheta . Em coordenadas polares, o diferencial de arco é dado por:
dxdtheta = -sin(theta)
Calculando as derivadas:
dydtheta = cos(theta)
dS = raiz(-sin(theta))^2 + (cos(theta))^2 dtheta = raizsin^2(theta) + cos^2(theta) dtheta = raiz1 dtheta = dtheta
Então:

Passo 4

Agora, substituímos integralC x y^4 dS = integral0^2pi cos(theta) (sin(theta))^4 dtheta , integral0^2pi cos(theta) sin^4(theta) dtheta e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
u = sin(theta)
Então:
du = cos(theta) dtheta
Nossa integral fica:
integral u^4 du
Integrando:
u^55 + C = sin^5(theta)5 + C

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de sin^5(theta)5 |0^2pi = sin^5(2pi)5 - sin^5(0)5 = 05 - 05 = 0 a :
Portanto, a integral é zero.

Resposta

A integral ao longo do círculo unitário é igual a 0.

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