Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a integral de linha , sendo o círculo unitário centrado na origem. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e utilizar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo unitário. Um jeito fácil de fazer isso é usar coordenadas polares. Podemos definir:
onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco . Em coordenadas polares, o diferencial de arco é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos , e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Então:
Nossa integral fica:
Integrando:

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Portanto, a integral é zero.

Resposta

A integral ao longo do círculo unitário é igual a 0.

Exercícios relacionados

Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva em dada pela interseção das seguintes superfícies:
(d) e .
Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(b) A parte da parábola de a .
Calcule onde quando:
© é o segmento que liga a .
Seja . Calcule a integral de linha do campo , (a) ao longo do eixo de a ; (b) ao longo de , com ; © ao longo da poligonal de vértices , e .