Calcule as seguintes integrais de linha sobre as curvas indicadas:
(b) , onde C é círculo unitário centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a integral de linha , sendo o círculo unitário centrado na origem. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e utilizar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o círculo unitário. Um jeito fácil de fazer isso é usar coordenadas polares. Podemos definir:
onde varia de a para percorrer todo o círculo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco . Em coordenadas polares, o diferencial de arco é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos , e na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Então:
Nossa integral fica:
Integrando:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral definida de a :
Portanto, a integral é zero.
Resposta
A integral ao longo do círculo unitário é igual a 0.