Calcule ds, onde é o vetor unitário tangente à curva , nos seguintes casos: é dada por
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha , onde e é a curva parametrizada por:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha envolvendo vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão para o vetor tangente . A forma mais fácil de fazer isso é calcular a derivada do vetor posição em relação a e depois normalizar esse vetor.
A curva é dada por:
Vamos derivar em relação a :
Passo 3
Agora, encontramos a magnitude desse vetor derivada para obter o elemento de comprimento :
Simplificando:
Passo 4
O vetor tangente unitário T = dr/dtheta| dr/dtheta | = -sin theta , i + cos theta , j + 1pi , kraizpi^2 + 1pi = pi (-sin theta , i + cos theta , j + 1pi , k)raizpi^2 + 1 é dado por:
Simplificando:
T = -pi sin theta , i + pi cos theta , j + 1 , kraizpi^2 + 1
Passo 5
Agora, substituímos integralgamma F cdot T , ds = integral0^2pi F(theta) cdot T | drdtheta | dtheta e F(theta) = cos theta , i - sin theta , j + thetapi , k na integral:
Primeiro, vamos encontrar :
Passo 6
Calculamos o produto escalar F cdot T = ( cos theta , i - sin theta , j + thetapi , k ) cdot ( -pi sin theta , i + pi cos theta , j + 1 , kraizpi^2 + 1 ) :
= -pi cos theta sin theta - pi sin theta cos theta + thetapi cdot 1 raizpi^2 + 1 = -2pi cos theta sin theta + thetapi raizpi^2 + 1
Calculando o produto escalar term por term:
Passo 7
Substituímos na integral:
integral0^2pi -2pi cos theta sin theta + thetapi raizpi^2 + 1 cdot raizpi^2 + 1pi dtheta = integral0^2pi -2pi cos theta sin theta + thetapi pi dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi ( -2 cos theta sin theta + thetapi^2 ) dtheta
Passo 8
Agora, resolvemos a integral separadamente:
integral0^2pi -2 cos theta sin theta , dtheta + integral0^2pi thetapi^2 , dtheta
Para a primeira integral, usamos a identidade -2 cos theta sin theta = -sin 2theta :
integral0^2pi -sin 2theta , dtheta = [ cos 2theta2 ]0^2pi = cos 4pi - cos 02 = 1 - 12 = 0