Calcule integralgamma F cdot T ds, onde T é o vetor unitário tangente à curva gamma, nos seguintes casos: F=x i-y j+z k, gamma é dada por x=cos theta, y=sen theta, z=thetapi, 0 <= theta <= 2 pi ;

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha x = cos theta, y = sin theta, z = thetapi, 0 <= theta <= 2pi , onde e é a curva parametrizada por:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha envolvendo vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para o vetor tangente r(theta) = cos theta , i + sin theta , j + thetapi , k . A forma mais fácil de fazer isso é calcular a derivada do vetor posição drdtheta = -sin theta , i + cos theta , j + 1pi , k em relação a e depois normalizar esse vetor.
A curva é dada por:
Vamos derivar em relação a :

Passo 3

Agora, encontramos a magnitude desse vetor derivada para obter o elemento de comprimento | drdtheta | = raiz(-sin theta)^2 + (cos theta)^2 + (1pi)^2 = raizsin^2 theta + cos^2 theta + 1pi^2 = raiz1 + 1pi^2 :
| drdtheta | = raiz1 + 1pi^2 = raizpi^2 + 1pi
Simplificando:

Passo 4

O vetor tangente unitário T = dr/dtheta| dr/dtheta | = -sin theta , i + cos theta , j + 1pi , kraizpi^2 + 1pi = pi (-sin theta , i + cos theta , j + 1pi , k)raizpi^2 + 1 é dado por:
Simplificando:
T = -pi sin theta , i + pi cos theta , j + 1 , kraizpi^2 + 1

Passo 5

Agora, substituímos integralgamma F cdot T , ds = integral0^2pi F(theta) cdot T | drdtheta | dtheta e F(theta) = cos theta , i - sin theta , j + thetapi , k na integral:
Primeiro, vamos encontrar :

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot T = ( cos theta , i - sin theta , j + thetapi , k ) cdot ( -pi sin theta , i + pi cos theta , j + 1 , kraizpi^2 + 1 ) :
= -pi cos theta sin theta - pi sin theta cos theta + thetapi cdot 1 raizpi^2 + 1 = -2pi cos theta sin theta + thetapi raizpi^2 + 1
Calculando o produto escalar term por term:

Passo 7

Substituímos na integral:
integral0^2pi -2pi cos theta sin theta + thetapi raizpi^2 + 1 cdot raizpi^2 + 1pi dtheta = integral0^2pi -2pi cos theta sin theta + thetapi pi dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi ( -2 cos theta sin theta + thetapi^2 ) dtheta

Passo 8

Agora, resolvemos a integral separadamente:
integral0^2pi -2 cos theta sin theta , dtheta + integral0^2pi thetapi^2 , dtheta
Para a primeira integral, usamos a identidade -2 cos theta sin theta = -sin 2theta :
integral0^2pi -sin 2theta , dtheta = [ cos 2theta2 ]0^2pi = cos 4pi - cos 02 = 1 - 12 = 0
Então:
integral0^2pi thetapi^2 , dtheta = 1pi^2 [ theta^22 ]0^2pi = 1pi^2 cdot (2pi)^22 = 4pi^22pi^2 = 2
Para a segunda integral:

Resposta

A integral é igual a .

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