Calcule
, onde
é o quadrado centrado na origem e lado 2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha
, onde
é um quadrado centrado na origem com lado 2. Vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha em caminhos fechados com integrais duplas sobre a região que o caminho delimita.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
na integral. Temos:
O Teorema de Green diz que:
onde
é a região delimitada pelo caminho
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
-
: Como não depende de , a derivada parcial em relação a é 0. -
: Como não depende de , a derivada parcial em relação a também é 0.
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Resposta
A integral
vale 0.