Calcule ointgamma raiz[3]x d x+d y1+y^2, onde gamma é o quadrado centrado na origem e lado 2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha , onde é um quadrado centrado na origem com lado 2. Vamos precisar usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha em caminhos fechados com integrais duplas sobre a região que o caminho delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy e na integral. Temos:
O Teorema de Green diz que:
onde é a região delimitada pelo caminho .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • : Como não depende de , a derivada parcial em relação a é 0.
  • : Como não depende de , a derivada parcial em relação a também é 0.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 0 - 0 ) dx , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0

Resposta

A integral vale 0.

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