Encontre a série de Maclaurin de usando a definição de série de Taylor em . Também encontre o raio de convergência associado
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar a série de Maclaurin de utilizando a definição da série de Taylor em . Além disso, devemos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender a definição da série de Taylor, calcular as derivadas da função e aplicar a fórmula da série de Maclaurin. Também utilizaremos critérios para verificar a convergência da série encontrada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de . A fórmula geral da série de Taylor para uma função em torno de é:
No caso da série de Maclaurin, temos , então a fórmula simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Sabemos que:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
E, de maneira geral, para qualquer ordem :
Portanto, avaliando em :
Passo 4
Com as derivadas calculadas, podemos substituir na fórmula da série de Maclaurin:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série encontrada. Para isso, utilizaremos o Critério da Razão, que nos ajuda a identificar para quais valores de a série converge.
Considerando , aplicamos o critério:
Como o limite é 0 para qualquer valor de , concluímos que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.