Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de X0. Ache o raio de convergência
f(x) = e^(x), x0 = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função centrada em . Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é .

Passo 3

A fórmula geral da série de Taylor de uma função centrada em é:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 4

Para a função , todas as derivadas são iguais a . Então, para qualquer . Avaliando em , temos:

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, ficamos com:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para a série de , sabemos que ela converge para qualquer valor de , ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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