Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Ache o raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é
.
Passo 3
A fórmula geral da série de Taylor de uma função
centrada em
é:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 4
Para a função
, todas as derivadas são iguais a
. Então,
para qualquer
. Avaliando em
, temos:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, ficamos com:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para a série de
, sabemos que ela converge para qualquer valor de
, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
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Encontre a série de Maclaurin de
usando a definição de série de Taylor em
. Também encontre o raio de convergência associado
Calcule
ds, onde
é o vetor unitário tangente à curva
, nos seguintes casos:
é dada por
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pela curva
e as retas
e
.
Determinar o comprimento da curva
dada em forma paramétrica por
.