Calcule integralgamma x d x+y d y, sendo gamma o segmento de extremidades (1,1) e (2,3) percorrido no sentido de (1,1) para (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha aí! A gente precisa calcular a integral ∫γ x dx + y dy, onde γ é o segmento de linha que vai de (1,1) até (2,3). Isso está relacionado a cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos parametrizar o caminho γ e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de linha γ de (1,1) até (2,3). Para isso, escolhemos um parâmetro t que varia de 0 a 1. As equações paramétricas ficam:
x(t) = 1 + (2 - 1)t = 1 + t
y(t) = 1 + (3 - 1)t = 1 + 2t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t, ou seja, dx/dt e dy/dt:
dxdt = 1
dydt = 2

Passo 4

A integral de linha ∫γ x dx + y dy pode ser reescrita em termos de t:
integral0^1 x(t) dxdt dt + y(t) dydt dt
Substituindo as expressões que encontramos:
integral0^1 (1 + t)(1) dt + (1 + 2t)(2) dt

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
integral0^1 (1 + t) + 2(1 + 2t) dt = integral0^1 1 + t + 2 + 4t dt = integral0^1 3 + 5t dt

Passo 6

Agora, integraremos termo a termo:
integral0^1 3 dt + integral0^1 5t dt = 3t |0^1 + 52t^2 |0^1

Passo 7

Calculando os limites:
3(1) - 3(0) + 52(1)^2 - 52(0)^2 = 3 + 52 = 112

Resposta

A integral ∫γ x dx + y dy é igual a 112.

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