Calcule
.
, onde
o vetor normal exterior à
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais de linha e campos vetoriais. Precisamos calcular a integral ∫₍γ₎ F · n ds, onde F(x, y) = x i + x j, e γ(t) = (cos t, sin t) para 0 ≤ t ≤ 2π. A curva γ é o círculo unitário, e n é o vetor normal externo a γ.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral ∫₍γ₎ F · n ds. Isso representa a soma de todas as contribuições do campo vetorial F na direção normal à curva γ ao longo de todo o caminho da curva.
Passo 3
A curva γ(t) = (cos t, sin t) descreve o círculo unitário no plano xy. Para encontrar o vetor normal externo n, podemos calcular a derivada da parametrização γ(t) para obter o vetor tangente T e depois obter n perpendicular a T.
A derivada de γ(t) é:
γ’(t) = (-sin t, cos t)
γ’(t) = (-sin t, cos t)
O vetor tangente T é γ’(t) = (-sin t, cos t). O vetor normal externo n é obtido rotacionando T em 90 graus:
n = (cos t, sin t)
n = (cos t, sin t)
Passo 4
Agora, substituímos F e n na integral:
F(cos t, sin t) = cos t i + cos t j
n = (cos t, sin t)
n = (cos t, sin t)
O produto escalar F · n é:
cos t * cos t + cos t * sin t = cos² t + cos t sin t
cos t * cos t + cos t * sin t = cos² t + cos t sin t
A integral fica:
∫₀^{2π} (cos² t + cos t sin t) * |γ’(t)| dt
∫₀^{2π} (cos² t + cos t sin t) * |γ’(t)| dt
Sabemos que |γ’(t)| = √(sin² t + cos² t) = 1
Então, a integral simplifica para:
∫₀^{2π} (cos² t + cos t sin t) dt
∫₀^{2π} (cos² t + cos t sin t) dt
Passo 5
Vamos resolver a integral:
∫₀^{2π} cos² t dt + ∫₀^{2π} cos t sin t dt
Sabemos que:
∫₀^{2π} cos² t dt = π
E
∫₀^{2π} cos t sin t dt = 0 (pois é uma função ímpar no intervalo simétrico)
∫₀^{2π} cos² t dt = π
E
∫₀^{2π} cos t sin t dt = 0 (pois é uma função ímpar no intervalo simétrico)
Portanto, a integral total é π + 0 = π
Resposta
O valor da integral é π.
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Calcule
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.
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até
sendo dados
e
.
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Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.