Uma particula desloca-se em um campo de forças F(x, y, z) = -y i + x j + z k.
Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partícula de gamma(a) até gamma(b), 0.0 sendo dados gamma(t) = (2t + 1, t - 1, t), a = 1 e b = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move num campo de forças definido por . O exercício pede para calcular o trabalho feito por essa força quando a partícula se desloca de até , onde , com e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para calcular o trabalho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é a força e é um infinitesimal deslocamento ao longo do caminho .

Passo 3

Vamos parametrizar a trajetória . Isso significa que:
O parâmetro varia de até .

Passo 4

Calculamos a derivada de em relação a para obter :

Passo 5

Agora, substituímos , e na força :

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, configuramos a integral para calcular o trabalho:
Note que os limites de integração vão de até .

Passo 8

Calculamos a integral:

Resposta

O trabalho realizado pela força é unidades de trabalho.

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