Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um campo vetorial, que é basicamente uma função que associa a cada ponto do espaço um vetor. A pergunta é: esse campo é conservativo? Para descobrir isso, vamos precisar lembrar do que significa um campo ser conservativo e quais são os critérios para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Isso significa que existe uma função potencial cuja derivada em cada direção nos dá os componentes do campo vetorial. Uma das propriedades importantes dos campos conservativos é que a circulação ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, vamos calcular o rotacional de . Se o rotacional for zero em todo o espaço, então o campo é conservativo.

Passo 4

Lembrando que o rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente do rotacional para o nosso campo.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:

Passo 6

Substituindo na fórmula do rotacional:
O rotacional de não é o vetor nulo, ou seja, .

Resposta

Como o rotacional de não é zero, o campo vetorial dado não é conservativo.

Exercícios relacionados

Calcule . , onde o vetor normal exterior à .
Calcule
Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.