Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial
usando o método de redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução da equação e queremos encontrar outras soluções. Aqui, já temos uma solução conhecida:
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa reduzir a ordem. Como temos uma equação diferencial de segunda ordem e já conhecemos uma solução, vamos supor que a segunda solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituímos
na equação diferencial original. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Notamos que os termos com
se cancelam:
Passo 6
Dividindo toda a equação por
, que nunca é zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem para
.
Passo 7
Resolvendo a equação característica:
Portanto, as soluções para
são:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos
:
Aqui,
representa uma solução constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Calcule
.
, onde
o vetor normal exterior à
.
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.