Use redução de ordem para encontrar a solução para cada equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial usando o método de redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução da equação e queremos encontrar outras soluções. Aqui, já temos uma solução conhecida: .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa reduzir a ordem. Como temos uma equação diferencial de segunda ordem e já conhecemos uma solução, vamos supor que a segunda solução pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituímos na equação diferencial original. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Notamos que os termos com se cancelam:

Passo 6

Dividindo toda a equação por , que nunca é zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem para .

Passo 7

Resolvendo a equação característica:
Portanto, as soluções para são:

Passo 8

Lembrando que , substituímos :
Aqui, representa uma solução constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Verifique se o campo vetorial dado é conservativo. Justifique.
Calcule . , onde o vetor normal exterior à .
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
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