Calcule , em que , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a função é . A curva está definida como para entre e . Isso entra no assunto de Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função em termos da variável usando a parametrização da curva . Sabemos que:
Então, substituindo na função :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização da curva em relação a , que é . Calculando cada componente:
Em seguida, calculamos o comprimento do vetor derivada, que é a magnitude de :

Passo 4

Com a função em termos de e o comprimento de , a integral de linha fica:
Ou seja:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Uma técnica útil para isso é usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Resposta

O valor da integral é .

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25.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
b)