Calcule integralgamma f(X) d s, em que f(x, y, z)=x y z, e gamma(t)=(1,, sen(t), cos (t)), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma f(X) , ds, onde a função f(x, y, z) é xyz. A curva gamma(t) está definida como gamma(t) = (1, sin(t), cos(t)) para t entre 0 e pi. Isso entra no assunto de Cálculo Vetorial, mais especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função f em termos da variável t usando a parametrização da curva gamma(t). Sabemos que:
x(t) = 1, y(t) = sin(t), z(t) = cos(t)
Então, substituindo na função f:
f(x(t), y(t), z(t)) = x(t) cdot y(t) cdot z(t) = 1 cdot sin(t) cdot cos(t) = sin(t)cos(t)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização da curva gamma(t) em relação a t, que é gamma'(t). Calculando cada componente:
gamma'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( 0, cos(t), -sin(t) )
Em seguida, calculamos o comprimento do vetor derivada, que é a magnitude de gamma'(t):
|gamma'(t)| = raiz0^2 + cos^2(t) + (-sin(t))^2 = raizcos^2(t) + sin^2(t) = raiz1 = 1

Passo 4

Com a função f em termos de t e o comprimento de gamma'(t), a integral de linha fica:
integralgamma f(X) , ds = integral0^pi f(x(t), y(t), z(t)) cdot |gamma'(t)| , dt = integral0^pi sin(t)cos(t) cdot 1 , dt
Ou seja:
integral0^pi sin(t)cos(t) , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral integral0^pi sin(t)cos(t) , dt. Uma técnica útil para isso é usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar u = sin(t), então dudt = cos(t), ou seja, du = cos(t) , dt. Substituindo na integral:
integral sin(t)cos(t) , dt = integral u , du = u^22 + C = sin^2(t)2 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
sin^2(t)2 |0^pi = sin^2(pi)2 - sin^2(0)2 = 02 - 02 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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