(a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se, para garantir que o volume das embalagens esteja correto, o engenheiro de controle de qualidade deve se preocupar mais com variações no raio ou na altura. Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciais, que nos ajuda a entender como pequenas mudanças em uma variável afetam o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro, que é o formato das embalagens:
Aqui, é o volume, é o raio da base e é a altura.

Passo 3

Agora, vamos calcular os diferenciais dessa função para ver como pequenas variações em e afetam . O diferencial de é dado por:
Isso significa que pequenas mudanças em e vão causar mudanças no volume .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o diferencial fica:

Passo 5

Para analisar qual variável afeta mais o volume, podemos comparar os termos que multiplicam e . Isso nos mostra a sensibilidade do volume em relação a cada variável.

Passo 6

Observando os termos:
Percebe-se que o termo envolvendo tem um fator adicional de 2 e depende de , enquanto o termo envolvendo depende de .

Passo 7

Isso indica que, para uma mesma variação relativa, mudanças no raio têm um impacto maior no volume do que mudanças na altura , já que o raio aparece ao quadrado e tem um coeficiente maior.

Resposta

O engenheiro deve se preocupar mais com variações no raio, pois pequenas mudanças em causam maiores alterações no volume das embalagens.

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Encontre a função que determina a distância de um ponto da curva ao eixo .
Calcule , em que , .