(a) Se um engenheiro de controle de qualidade precisa assegurar que essas embalagens tenham o volume correto, ele deverá se preocupar mais com variações no raio ou na altura? Justifique sua resposta com argumentos usando diferenciais.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se, para garantir que o volume das embalagens esteja correto, o engenheiro de controle de qualidade deve se preocupar mais com variações no raio ou na altura. Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciais, que nos ajuda a entender como pequenas mudanças em uma variável afetam o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro, que é o formato das embalagens:
Aqui,
é o volume,
é o raio da base e
é a altura.
Passo 3
Agora, vamos calcular os diferenciais dessa função para ver como pequenas variações em
e
afetam
. O diferencial de
é dado por:
Isso significa que pequenas mudanças em
e
vão causar mudanças no volume
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o diferencial fica:
Passo 5
Para analisar qual variável afeta mais o volume, podemos comparar os termos que multiplicam
e
. Isso nos mostra a sensibilidade do volume em relação a cada variável.
Passo 6
Observando os termos:
Percebe-se que o termo envolvendo
tem um fator adicional de 2 e depende de
, enquanto o termo envolvendo
depende de
.
Passo 7
Isso indica que, para uma mesma variação relativa, mudanças no raio
têm um impacto maior no volume do que mudanças na altura
, já que o raio aparece ao quadrado e tem um coeficiente maior.
Resposta
O engenheiro deve se preocupar mais com variações no raio, pois pequenas mudanças em
causam maiores alterações no volume das embalagens.
Exercícios relacionados
Encontre a função que determina a distância de um ponto da curva
ao eixo
.
Calcule
, em que
,
.