Encontre a função que determina a distância de um ponto da curva gamma(t) = (t, 2t, 3t) ao eixo z.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma função que dá a distância de um ponto da curva até o eixo . Vamos usar noções de geometria analítica e a fórmula de distância entre pontos e eixos no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o eixo . O eixo é formado por todos os pontos onde as coordenadas e são zero, ou seja, pontos da forma .

Passo 3

Agora, vamos pegar um ponto qualquer da curva , que é . Queremos calcular a distância desse ponto até o eixo .

Passo 4

A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é . Mas como estamos calculando a distância até o eixo , onde e , podemos simplificar.

Passo 5

A distância do ponto até o eixo é a distância até o ponto mais próximo no eixo , que é . Então, aplicando a fórmula:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Como , temos a função da distância em termos de .

Resposta

A função que determina a distância é .

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