Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial de onde ele deriva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que:
Isso significa que as componentes de são as derivadas parciais de :

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Vemos que .

Passo 6

Como as derivadas parciais misturadas não são iguais, isso significa que o campo vetorial não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

Exercícios relacionados

Calcule em cada um dos casos abaixo:
sen , é o segmento de reta de até .
Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Resolva os problemas de valor inicial:
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