Verifique se os campos F abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
F(x, y) = 1/x * i + x * e^(x * y) * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial de onde ele deriva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que:
Isso significa que as componentes de são as derivadas parciais de :

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, calculamos :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Vemos que .

Passo 6

Como as derivadas parciais misturadas não são iguais, isso significa que o campo vetorial não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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