Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial de onde ele deriva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Isso significa que as componentes de
são as derivadas parciais de
:
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Vemos que
.
Passo 6
Como as derivadas parciais misturadas não são iguais, isso significa que o campo vetorial
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
sen
,
é o segmento de reta de
até
.
Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Resolva os problemas de valor inicial:
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