Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
. O objetivo é verificar se esse campo é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial da qual esse campo derive. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo do rotacional (ou “curl”) e a integração para encontrar a função potencial.
Passo 2
Um campo vetorial é considerado conservativo se ele puder ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
. Uma condição importante para que um campo seja conservativo é que o seu rotacional seja zero:
. Então, vamos calcular o rotacional de
.
Passo 3
Vamos calcular
. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Substituindo os componentes de
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Como o rotacional de
é zero (
), podemos concluir que
é um campo conservativo. Agora, precisamos encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar cada componente de
em relação às suas respectivas variáveis:
Começamos com
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Atualizamos
com
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso significa que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 8
Portanto, a função potencial
é:
Resposta
Sim, o campo
é conservativo. Uma função potencial é
, onde
é uma constante.