Verifique se os campos F abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
F(x, y, z) = (y + z) i + (x + z) j + (x + y) k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial . O objetivo é verificar se esse campo é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial da qual esse campo derive. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo do rotacional (ou “curl”) e a integração para encontrar a função potencial.

Passo 2

Um campo vetorial é considerado conservativo se ele puder ser escrito como o gradiente de uma função escalar , ou seja, . Uma condição importante para que um campo seja conservativo é que o seu rotacional seja zero: . Então, vamos calcular o rotacional de .

Passo 3

Vamos calcular . A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Substituindo os componentes de :
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Como o rotacional de é zero ( ), podemos concluir que é um campo conservativo. Agora, precisamos encontrar uma função potencial tal que .

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar cada componente de em relação às suas respectivas variáveis:
Começamos com :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Atualizamos com :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso significa que é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 8

Portanto, a função potencial é:

Resposta

Sim, o campo é conservativo. Uma função potencial é , onde é uma constante.

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