Calcule integralgamma f(x, y) d s em cada um dos casos abaixo:
f(x, y)=y^3, gamma: x=t^3, y=t, 0 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha onde e a curva é dada por e para entre 0 e 2. Vamos usar cálculo integral em curvas, especificadamente a parametrização da curva e a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva x(t) = t^3, y(t) = t, com 0 <= t <= 2 . A curva está parametrizada por:
f(x(t), y(t)) = y(t)^3 = t^3
Essa parametrização nos permite expressar em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos achar o elemento de arco dxdt = 3t^2, dydt = 1 . Para isso, calculamos as derivadas de ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz9t^4 + 1 , dt e em relação a :
O elemento de arco é dado por:

Passo 4

Agora, substituímos integralgamma f(x, y) , ds = integral0^2 t^3 raiz9t^4 + 1 , dt e na integral de linha:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja dudt = 36t^3 Rightarrow dt = du36t^3 . Então, a derivada de integral t^3 raizu cdot du36t^3 = 136 integral raizu , du em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos 136 integral raizu , du = 136 cdot 23 u^3/2 + C = 154 u^3/2 + C :
154 (9t^4 + 1)^3/2
Voltando à variável original:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de 154 [ (9(2)^4 + 1)^3/2 - (9(0)^4 + 1)^3/2 ] = 154 [ (9 cdot 16 + 1)^3/2 - 1^3/2 ] até = 154 [ (145)^3/2 - 1 ] = 154 [ 145 raiz145 - 1 ] :

Resposta

integralgamma f(x, y) , ds = 154 (145 raiz145 - 1)

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