Calcule em cada um dos casos abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha onde e a curva é dada por e para entre 0 e 2. Vamos usar cálculo integral em curvas, especificadamente a parametrização da curva e a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva . A curva está parametrizada por:
Essa parametrização nos permite expressar em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos achar o elemento de arco . Para isso, calculamos as derivadas de e em relação a :
O elemento de arco é dado por:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral de linha:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos :
Voltando à variável original:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de até :

Resposta

Exercícios relacionados

Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(a)
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(b)
Resolva os probemas de valor abaixo utilizando a transformada de Laplace: .
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(e.)