Calcule
em cada um dos casos abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
onde
e a curva
é dada por
e
para
entre 0 e 2. Vamos usar cálculo integral em curvas, especificadamente a parametrização da curva e a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva
. A curva está parametrizada por:
Essa parametrização nos permite expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, precisamos achar o elemento de arco
. Para isso, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
O elemento de arco
é dado por:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral de linha:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos
:
Voltando à variável original:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de
até
:
Resposta
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Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(a)
(a)
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(b)
(b)
Resolva os probemas de valor abaixo utilizando a transformada de Laplace:
.
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(e.)
(e.)