Resolva os probemas de valor abaixo utilizando a transformada de Laplace: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é com a condição inicial . A função é definida por partes: é igual a 0 quando e igual a 5 quando . Vamos precisar usar a propriedade da Transformada de Laplace para funções definidas por partes, também conhecida como função degrau (ou função de Heaviside).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é e , a equação fica:

Passo 3

Vamos simplificar a equação:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Como é uma função por partes, podemos escrevê-la usando a função de Heaviside , onde . Assim:
A Transformada de Laplace de é . Portanto:

Passo 5

Substituindo na expressão de :

Passo 6

Para encontrar , vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, decompomos em frações parciais:

Passo 7

Aplicando a Transformada Inversa:
Usamos a propriedade do deslocamento de Heaviside para ajustar a função iniciando em .

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Calcule em cada um dos casos abaixo:
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(a)
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(e.)
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.