Resolva os probemas de valor abaixo utilizando a transformada de Laplace:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é
com a condição inicial
. A função
é definida por partes: é igual a 0 quando
e igual a 5 quando
. Vamos precisar usar a propriedade da Transformada de Laplace para funções definidas por partes, também conhecida como função degrau (ou função de Heaviside).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de
é
e
, a equação fica:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Como
é uma função por partes, podemos escrevê-la usando a função de Heaviside
, onde
. Assim:
A Transformada de Laplace de
é
. Portanto:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Para encontrar
, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, decompomos
em frações parciais:
Passo 7
Aplicando a Transformada Inversa:
Usamos a propriedade do deslocamento de Heaviside para ajustar a função iniciando em
.
Resposta
A solução do problema é: