Resolva os probemas de valor abaixo utilizando a transformada de Laplace: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é com a condição inicial . A função é definida por partes: é igual a 0 quando e igual a 5 quando . Vamos precisar usar a propriedade da Transformada de Laplace para funções definidas por partes, também conhecida como função degrau (ou função de Heaviside).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é e , a equação fica:
Passo 3
Vamos simplificar a equação:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar . Como é uma função por partes, podemos escrevê-la usando a função de Heaviside , onde . Assim:
A Transformada de Laplace de é . Portanto:
Passo 5
Substituindo na expressão de :
Passo 6
Para encontrar , vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, decompomos em frações parciais:
Passo 7
Aplicando a Transformada Inversa:
Usamos a propriedade do deslocamento de Heaviside para ajustar a função iniciando em .