Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(e.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com uma função quadrática dentro de um valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar gráficos de funções quadráticas e entender o que o valor absoluto faz com esses gráficos.

Passo 2

Vamos começar analisando a função dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática que tem a forma geral . Para desenhar seu gráfico, precisamos encontrar raízes (os pontos onde ) e o vértice (o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico).

Passo 3

Para encontrar as raízes de , resolvemos a equação . Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e :
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola . A coordenada do vértice é dada por:
Para encontrar , substituímos na função:
Portanto, o vértice está em .

Passo 5

Agora que sabemos as raízes e o vértice, podemos esboçar o gráfico de . É uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), cruzando o eixo nos pontos e , e tendo o vértice em .

Passo 6

Agora, vamos aplicar o valor absoluto à função . A função reflete todo o trecho da parábola que está abaixo do eixo para cima. Isso significa que onde era negativa, será positiva.

Passo 7

Identificamos onde é negativa entre as raízes e . Nesse intervalo, o gráfico de será a parábola original refletida acima do eixo . Fora desse intervalo, o gráfico permanece igual ao de .

Resposta

O gráfico de é uma parábola que abre para cima, intersecta o eixo nos pontos e , e tem um vértice em após a aplicação do valor absoluto. Entre e , a parábola é refletida acima do eixo .

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Resolva os probemas de valor abaixo utilizando a transformada de Laplace: .
Calcule em cada um dos casos abaixo:
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Expresse como uma composição de duas funções; isto é, encontre e tais que .
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