Uma massa de
cai a partir do repouso em um meio que oferece uma resistência de
, onde v esta em
.
(a) Se a massa cai de uma altura de 30 in. Encontre sua velocidade ao atingir o solo.
(a) Se a massa cai de uma altura de 30 in. Encontre sua velocidade ao atingir o solo.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de física onde uma massa de
cai do repouso numa altura de
. O meio oferece uma resistência proporcional à velocidade, dada por
. A gente vai usar conceitos de cinemática e dinâmica para descobrir qual é a velocidade da massa quando ela atinge o solo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a altura de
para metros, já que as outras unidades estão no Sistema Internacional. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuando na massa durante a queda. Temos:
- A força da gravidade:
, onde . - A resistência do meio:
.
Como a massa está descendo, a equação de movimento fica:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos usar separação de variáveis. Podemos reescrever a equação como:
Substituindo
:
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial, encontramos a expressão para a velocidade em função do tempo:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar o deslocamento com o tempo para encontrar a velocidade ao atingir a altura de
. A posição em função do tempo é dada por:
Igualando
e resolvendo para
numericamente, encontramos o tempo de queda.
Passo 7
Após encontrar o tempo de queda
, substituímos na expressão da velocidade
para obter a velocidade ao atingir o solo.
Resposta
A velocidade da massa ao atingir o solo é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
é a semicircunferência
Considere
definida por
. Mostre que
tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento
que contém esta raiz.
Calcule
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Considere
definida por
. Mostre que
tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento
que contém esta raiz.