Uma massa de cai a partir do repouso em um meio que oferece uma resistência de , onde v esta em .
(a) Se a massa cai de uma altura de 30 in. Encontre sua velocidade ao atingir o solo.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de física onde uma massa de cai do repouso numa altura de . O meio oferece uma resistência proporcional à velocidade, dada por . A gente vai usar conceitos de cinemática e dinâmica para descobrir qual é a velocidade da massa quando ela atinge o solo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a altura de para metros, já que as outras unidades estão no Sistema Internacional. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuando na massa durante a queda. Temos:
  1. A força da gravidade: , onde .
  2. A resistência do meio: .
Como a massa está descendo, a equação de movimento fica:

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar separação de variáveis. Podemos reescrever a equação como:
Substituindo :

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial, encontramos a expressão para a velocidade em função do tempo:

Passo 6

Agora, precisamos relacionar o deslocamento com o tempo para encontrar a velocidade ao atingir a altura de . A posição em função do tempo é dada por:
Igualando e resolvendo para numericamente, encontramos o tempo de queda.

Passo 7

Após encontrar o tempo de queda , substituímos na expressão da velocidade para obter a velocidade ao atingir o solo.

Resposta

A velocidade da massa ao atingir o solo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Calcule em cada um dos casos abaixo:
é a semicircunferência
Considere definida por . Mostre que tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento que contém esta raiz.
Calcule
(a) .
(b) .
Considere definida por . Mostre que tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento que contém esta raiz.