Calcule
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses dois limites juntos! O assunto aqui é limites de funções, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e possivelmente usar a regra de L’Hôpital quando tivermos indeterminações.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
Aqui, queremos saber o que acontece com essa fração conforme
cresce sem limites.
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Quando
tende ao infinito, os termos com
de maior grau dominam. Então, no denominador,
é aproximadamente
.
Passo 4
Dividimos numerador e denominador por
para facilitar:
À medida que
tende ao infinito,
tende a 0.
Passo 5
Portanto, a expressão simplifica para:
Então, o limite da parte (a) é 3.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b):
Primeiro, tentamos substituir
diretamente:
Isso é uma indeterminação, então precisamos de outra estratégia.
Passo 7
Quando temos uma indeterminação do tipo
, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Passo 8
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Agora, calculamos o limite com essas derivadas:
Passo 9
Substituindo
:
Resposta
(a)
(b)