Calcule
(a) lim x infty 3 xraiz1+x^2.
(b) lim x 1 x^3+2 x^2-x-2x^3-x^2+3 x-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses dois limites juntos! O assunto aqui é limites de funções, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e possivelmente usar a regra de L’Hôpital quando tivermos indeterminações.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a):
limx infty 3xraiz1 + x^2
Aqui, queremos saber o que acontece com essa fração conforme cresce sem limites.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Quando tende ao infinito, os termos com de maior grau dominam. Então, no denominador, é aproximadamente .

Passo 4

Dividimos numerador e denominador por 3xraiz1 + x^2 = 3x/xraiz(1 + x^2)/x = 3raiz1/x^2 + 1 para facilitar:
À medida que tende ao infinito, tende a 0.

Passo 5

Portanto, a expressão simplifica para:
3raiz0 + 1 = 31 = 3
Então, o limite da parte (a) é 3.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b):
limx 1 x^3 + 2x^2 - x - 2x^3 - x^2 + 3x - 3
Primeiro, tentamos substituir 1 + 2 - 1 - 21 - 1 + 3 - 3 = 00 diretamente:
Isso é uma indeterminação, então precisamos de outra estratégia.

Passo 7

Quando temos uma indeterminação do tipo , podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.

Passo 8

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: limx 1 3x^2 + 4x - 13x^2 - 2x + 3
  • Derivada do denominador:
Agora, calculamos o limite com essas derivadas:

Passo 9

Substituindo 3(1)^2 + 4(1) - 13(1)^2 - 2(1) + 3 = 3 + 4 - 13 - 2 + 3 = 64 = 32 :

Resposta

(a)
(b)

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