Calcule
(a) .
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses dois limites juntos! O assunto aqui é limites de funções, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e possivelmente usar a regra de L’Hôpital quando tivermos indeterminações.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a):
Aqui, queremos saber o que acontece com essa fração conforme cresce sem limites.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Quando tende ao infinito, os termos com de maior grau dominam. Então, no denominador, é aproximadamente .

Passo 4

Dividimos numerador e denominador por para facilitar:
À medida que tende ao infinito, tende a 0.

Passo 5

Portanto, a expressão simplifica para:
Então, o limite da parte (a) é 3.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b):
Primeiro, tentamos substituir diretamente:
Isso é uma indeterminação, então precisamos de outra estratégia.

Passo 7

Quando temos uma indeterminação do tipo , podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.

Passo 8

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Agora, calculamos o limite com essas derivadas:

Passo 9

Substituindo :

Resposta

(a)
(b)

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