Esboçar os gráficos das seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções racionais, que são funções formadas pelo quociente de dois polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar identificar pontos-chave como assíntotas, interceptos e o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode assumir sem causar problemas, como divisão por zero. Olhando para a função
, vemos que o denominador
não pode ser zero, ou seja:
Então, o domínio é todos os números reais menos
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
-
Assíntota vertical: ocorre onde a função não está definida, que no nosso caso é
. Portanto, temos uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal: é o valor que a função se aproxima quando
vai para ou . Observando a função , quando se aproxima de infinito, o termo se aproxima de zero. Assim, a função se aproxima de . Portanto, a assíntota horizontal é .
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função cruza os eixos
e
.
- Intercepto com o eixo
: ocorre quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
- Intercepto com o eixo
: ocorre quando . Vamos resolver:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e nos intervalos definidos pelo domínio.
-
Para
: - Conforme
aumenta, diminui, e se aproxima de 2. - Quando
se aproxima de -1 pela direita, tende a , então tende a .
- Conforme
-
Para
: - Conforme
diminui, tende a zero negativo, e se aproxima de 2. - Quando
se aproxima de -1 pela esquerda, tende a , então tende a .
- Conforme
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Plote o intercepto com o eixo
em e com o eixo em . - Desenhe a assíntota vertical em
e a assíntota horizontal em . - Para
, o gráfico se aproxima de e desce em direção a próximo a . - Para
, o gráfico se aproxima de e sobe em direção a próximo a .
Resposta
O gráfico da função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. Intercepta o eixo
em
e o eixo
em
. Com base nessas informações, o gráfico pode ser esboçado mostrando a aproximação às assíntotas e passando pelos interceptos identificados.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
Determine o domínio das funções:
(f)
(f)
Determine
e
.
(b)
(b)