Esboçar os gráficos das seguintes funções:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos trabalhando com funções racionais, que são funções formadas pelo quociente de dois polinômios. Para esboçar o gráfico, vamos precisar identificar pontos-chave como assíntotas, interceptos e o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode assumir sem causar problemas, como divisão por zero. Olhando para a função , vemos que o denominador não pode ser zero, ou seja:
Então, o domínio é todos os números reais menos .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
  • Assíntota vertical: ocorre onde a função não está definida, que no nosso caso é . Portanto, temos uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal: é o valor que a função se aproxima quando vai para ou . Observando a função , quando se aproxima de infinito, o termo se aproxima de zero. Assim, a função se aproxima de . Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : ocorre quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo é .
  • Intercepto com o eixo : ocorre quando . Vamos resolver:
Então, o intercepto com o eixo é .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e nos intervalos definidos pelo domínio.
  • Para :
    • Conforme aumenta, diminui, e se aproxima de 2.
    • Quando se aproxima de -1 pela direita, tende a , então tende a .
  • Para :
    • Conforme diminui, tende a zero negativo, e se aproxima de 2.
    • Quando se aproxima de -1 pela esquerda, tende a , então tende a .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Plote o intercepto com o eixo em e com o eixo em .
  • Desenhe a assíntota vertical em e a assíntota horizontal em .
  • Para , o gráfico se aproxima de e desce em direção a próximo a .
  • Para , o gráfico se aproxima de e sobe em direção a próximo a .

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Intercepta o eixo em e o eixo em . Com base nessas informações, o gráfico pode ser esboçado mostrando a aproximação às assíntotas e passando pelos interceptos identificados.

Exercícios relacionados

Calcule em cada um dos casos abaixo:
Determine o domínio das funções:
(f)
Determine e .
(b)